Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analysis 2024

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x) = a \cdot x^2$.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \mid f_{\frac{1}{2}}(4)\right)$.

Aufgabe 1

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x) = a \cdot x^2$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $(4 \mid f_{\frac{1}{2}}(4))$.

a

Geben Sie anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an. [1 BE]

b

Weisen Sie nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(u \mid f_a(u))$ die $y$-Achse im Punkt $(0 \mid -f_a(u))$ schneidet. [4 BE]

Aufgabe 2

Für eine Zahl $a > 0$ zeigt die Abbildung den Graphen $G$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 2ax^2 + a^2x$ sowie die Gerade $h$. $G$ und $h$ schneiden sich im Koordinatenursprung und $h$ verläuft senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich $G$ und die $x$-Achse im Punkt $(a \mid 0)$.

Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

Die beiden gemeinsamen Punkte von $G$ und der $x$-Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.

Eine Diagonale liegt auf der Gerade $h$.

Skizzieren Sie das Rechteck in der Abbildung und zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von $a$ ist. [5 BE]