Mecanismes de Transmissió de Moviment i Caixes de Canvi

I 28 flashcards i 19 preguntes més al document.

Text del document

Transmissió de moviment Tec. Industrial 1r Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 1 Mecanismes de transmissió del moviment 1.1 Transmissió mitjançant elements flexibles 1.1.1 Transmissió per corretja Formada per dues politges unides mitjançant un element flexible anomenat corretja. Tenen l'avantatge de poder treballar amb distàncies relativament llargues entre els eixos i transmetre grans esforços. Si es necessita molta velocitat i precisió es poden fer servir corretges dentades.

1.1.2 Transmissió per cadena Amb la cadena s'elimina la possibilitat de lliscament (que amb la corretja hi és present) i de la mateixa manera que amb les cadenes, es poden transmetre esforços molt grans a distàncies relativament llargues entre els eixos. 1.1.3 Càlcul de velocitats. Relació de transmissió Considerem un sistema de transmissió per corretja com el representat a con- tinuació r1 r2 ω1 ω2 vc La velocitat vc de la corretja serà la mateixa que la velocitat lineal de les politges v1, v2, suposant que la corretja no llisca sobre elles.

Llavors v1 = v2 ω1r1 = ω2r2 (1) si suposem que la politja motriu (que forma part de l'eix d'un motor, per exemple) és la 1, llavors l'anomenem conductora i a la 2, conduı̈da. Definim la relació de transmissió com el quocient τ = ω2 ω1 (2) De forma similar a com definı́em la potència desenvolupada per una força que actua sobre un objecte desplaçant-lo amb moviment rectilini i velocitat constant P = F · v 1 Transmissió de moviment Tec. Industrial 1r Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) podem definir la potència desenvolupada per un parell Γ = F · r que fa girar una politja amb velocitat ω, P = Γ · ω (3) i si suposem que no hi ha pèrdua de potència en la transmissió P1 = P2 Γ1 · ω1 = Γ2 · ω2 τ = ω2 ω1 = Γ1 Γ2 (4) Ha de quedar clar que els valors desitjats de τ s'obtenen sense més que fent servir els radis adequats per la politja motriu i la conduı̈da. Podem trobar dues situacions d'interès Quan τ > 1 llavors la velocitat angular de sortida és més gran que la d'entrada, parlem de sistema multiplicador. En aquestes condici- ons, el parell de sortida disminueix respecte al d'entrada.

Un exemple d'aquesta situació és quan en una bicicleta que té diverses marxes fem servir la combinació plat gran i pinyó petit. Hem de fer molta força per moure'ns però per cada volta que donem als pedals la roda posterior en dóna més, cosa que s'aprofita en baixades per adquirir més velocitat pedalant. Quan τ < 1 la velocitat angular de sortida és menor que la d'entrada però el parell és més gran, parlem de sistema reductor. Aquesta situ- ació la trobem per exemple en la transmissió de l'eix del motor d'una rentadora i el tambor. El motor pot girar a molta velocitat però té poca força en comparació.

L'avantatge mecànic s'obté perquè el radi de l'eix del motor és molt més petit que l'eix del tambor i el parell es multiplica notablement. 1.2 Transmissió mitjançant engranatges Els engranatges són mecanismes de transmissió de moviment circular mit- jançant rodes dentades. Poden transmetre grans esforços i treballar a grans velocitats però el seu ús es limita a eixos que es troben a poca distància. 1.2.1 Càlcul de velocitats i relacions de transmissió En aquest tipus de transmissió es pot establir la relació ω1 · z1 = ω2 · z2 (5) 2 Transmissió de moviment Tec. Industrial 1r Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) on ω1, ω2 són les velocitats angulars d'entrada i sortida respectivament i z1, z2 les dents de cadascun dels engranatges. De forma semblant a la transmissió per corretja, podem definir la relació de transmissió τ com τ = ω2 ω1 = z1 z2 (6) Exemple 1.2.1.1 Un ciclista es troba circulant amb la seva bicicleta a una certa velocitat en un terreny pla. La longitud del pedal és de 150 mm i el ciclista aplica una força constant de 150 N fent que el plat (que té 60 dents) giri a 120 min 1 . Si el pinyó que du engranat la cadena en aquell moment té 12 dents i la roda posterior té 60 cm de diàmetre, es demana 1.

Calculeu la velocitat angular del pedal en rad/s Fem el factor de conversió 120 min 1 120 rev XX X min · 2π rad 1 rev · 1XX X min 60 s = 4π rad/s 2. Calculeu el parell aplicat al pedal A partir de la definició de parell podem calcular Γ = F · r = 150 · 0, 150 = 22, 5 N · m 3. Calculeu la potència motriu El ciclista, desenvolupa en el pedal una potència P = Γω = 22, 5 · 4π = 90π = 282, 74 W 4. Calculeu la relació de transmissió en les condicions de l'exemple És fàcil calcular, a partir del nombre de dents de plat i pinyó τ = z1 z2 = 60 12 = 5 3 Transmissió de moviment Tec. Industrial 1r Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) 5.

Calculeu la velocitat angular del pinyó i la roda posterior de la bicicleta Amb el resultat de l'apartat anterior i la definició de relació de trans- missió τ = ω2 ω1 ω2 = ω1τ = 4π · 5 = 20π rad/s 6. Calculeu la velocitat lineal d'un punt de la perifèria de la roda posterior Fent servir la relació v = ω · r = 20π · 0, 3 = 12π = 18, 85 m/s 7. Calculeu la velocitat amb que es mou el ciclista.

La velocitat del ciclista i la bicicleta és la mateixa que la velocitat lineal dels punts de la perifèria de la roda, per tant, el ciclista es mou a 18, 85 m/s 2 Trens de mecanismes Anomenem tren de mecanismes a qualsevol associació de més de dos meca- nismes, que poden ser politges, engranatges, etc. 2.1 Càlcul de velocitats i relacions de transmissió Per trobar la relació de transmissió d'un tren de mecanismes podem fer servir la fórmula τ = Q zconductores Q zconduı̈des (7) També podem anar aplicant la condició que calgui (comparteixen velo- citat lineal a la perifèria o comparteixen velocitat angular) a cada parell d'elements del tren.

Hi ha diverses maneres de representar els trens de me- canismes. Als exemples en veurem unes quantes. El sı́mbol Q s'anomena productori i per exemple és 3 Y i=1 ai = a1 · a2 · a3 4 Transmissió de moviment Tec. Industrial 1r Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Exemple 2.1.1 z1 = 14 z2 = 18 z3 = 16 Suposem que la roda 1 és la motriu, llavors forma part de les conductores. La roda 2 és conduı̈da per la 1 i al seu torn condueix la 3. La roda 3, finalment, només es pot considerar conduı̈da. Aixı́ τ = z1z2 z2z3 = z1 z3 = 14 16 = 0.875 El sistema es comporta com un reductor. La velocitat angular de la sortida serà menor que la d'entrada i el parell (a la sortida), més gran.

Noteu que el valor de la relació de transmissió no depèn de la roda 2. De fet, tant és quantes dents tingui, el seu paper és fer de roda inversora, canviant el sentit de gir de la tercera respecte del que tindria si la segona no hi fos. Exemple 2.1.2 Trobeu la relació de transmissió en el següent tren de mecanismes, amb z1 = 10 z2 = 30 z3 = 35 z4 = 10 z5 = 20 z1 z2 z3 z4 z5 Ara farem servir un altre mètode. Sabem que per definició, la relació de transmissió del tren de mecanismes és τ = ω5 ω1 5 Transmissió de moviment Tec. Industrial 1r Batxillerat.

A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) i que en un parell qualsevol a, b d'engranatges que tenen contacte en la seva perifèria va = vb ωaza = ωbzb i per els que giren solidàriament al voltant d'un eix ωa = ωb Llavors, τ = ω5 ω1 = 1 ω1 [ω5] = 1 ω1 z4 z5 ω4 = 1 ω1 z4 z5 ω3 = 1 ω1 z4 z5 z2 z3 ω2 = 1 H H ω1 z4 z5 z2 z3 z1 z2 H H ω1 finalment, τ = z4 z5 Z Z z2 z3 z1 Z Z z2 = z4 z5 z1 z3 Fixem-nos que coincideix amb el que farı́em si apliquéssim la fórmula (7). La roda 1 és la motriu i per tant, conductora. La roda 2 també es pot considerar conductora ja que fa girar la 3 per la seva perifèria. La roda 4 també condueix la 5. Noteu que la 3 i la 4 giren amb la mateixa velocitat angular.

Exemple 2.1.3 El diagrama següent mostra el tren de mecanismes que governa les rodes d'un tramvia. Suposant que z1 = 10, z2 = 25, z3 = 15, z4 = 35, z5 = 8, z6 = 18, calculeu la velocitat del tramvia i el parell a la roda. És aquesta combinació d'engranatges que es mostra reductora o multiplicadora? z1 z2 z3 z4 z5 z6 8000 W 3000 min 1 = 40 cm 6 Transmissió de moviment Tec. Industrial 1r Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Calculem la relació de transmissió del conjunt.

τ = z1z3z5 z2z4z6 = 10 · 15 · 8 25 · 35 · 18 = 0, 0762 < 1 (sistema reductor) Per calcular el parell a la sortida suposem que no hi ha pèrdues de potència en el tren de mecanismes P1 = P6 P1 = Γ6·ω6 Γ6 = P1 ω6 = P1 ω1 · τ = 8000 3000 · π 30 · 0, 0762 = 334, 2 N·m on hem passat implı́citament la velocitat angular de rev/min a rad/s (podeu repassar els detalls del factor de conversió al primer apartat de l'exemple 1.2.1.1). Finalment, la velocitat del tramvia serà la mateixa que la velocitat lineal de la roda.

Aixı́ v6 = ω6 · r6 = ω1 · τ · r6 = 3000 · π 30 · 0, 0762 · 0, 2 = 4, 788 m/s 2.2 Caixes de canvi de marxes Els trens de mecanismes ofereixen la possibilitat de poder transmetre movi- ment amb un efecte reductor o multiplicador però la relació de transmissió és fixa. Per dotar-los de més versatilitat es fan servir les anomenades caixes de canvi de marxes. Exemple 2.2.1 Eix fix Eix A Eix B z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 7 Transmissió de moviment Tec. Industrial 1r Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Els eixos A, B són mòbils de forma que desplaçant-los a dreta i esquerra es poden aconseguir diferents relacions de transmissió.

Per conveniència, codificarem la configuració de l'esquema anomenant els engranatges que es troben activats, en l'exemple: 2-5-8.

Si suposem que z1 és el motriu i que el nombre de dents és z1 = 40, z6 = z7 = 30, z2 = z5 = z8 = 15 i z3 = z4 = z9 = 10, la relació de transmissió (fins a la sortida, roda 9) en l'estat actual val, aplicant la fórmula (7) τ2 5 8 = z2Z Z z5 Z Z z5z8 = z2 z8 = 15 15 = 1 també es pot calcular a partir de (5) i (6) τ = ω9 ω1 = ω8 ω1 = ω5z5 z8ω1 = ω2z2z5 z5z8ω1 = ω1z2Z Z z5 Z Z z5z8ω1 = z2 z8 = 15 15 = 1 Exemple 2.2.2 (Con de politges) Considerem el següent mecanisme, consistent en dos cons iguals de polit- ges que se situen invertits de manera que la corretja de transmissió pot estar en tres posicions diferents.

1 2 3 ωentrada ωsortida La relació de transmissió (fent servir l'expressió (1)) en la situació represen- tada val τ = ωsortida ωentrada = r1 r2 = 2/2 2/2 = 1 Noteu que si els cons tenen un nombre senar de politges llavors sempre hi ha una posició en la que τ = 1. 8 Transmissió de moviment Tec. Industrial 1r Batxillerat. A.Arroyo (aarroyo+batx@stjosep.org) Exercicis 1. Fent servir la situació i les dades de l'exemple 2.2.1, es demana: (a) Representeu totes les combinacions possibles (hi ha nou) per aquest canvi de marxes. Recordeu que l'eix central roman sempre fix. (b) Calculeu la relació de transmissió per cada cas de l'apartat ante- rior.

(c) Suposant que a la roda 1 la potència val P = 200 W, i la seva velocitat angular és ω1 = 500 rad/s, calculeu els parells màxim i mı́nim de sortida i especifiqueu per quina configuració del meca- nisme es dona cadascun d'aquests valors. 2. Considereu un con de politges amb diàmetres 1 = 100 mm, 2 = 150 mm, 3 = 200 mm i 4 = 250 mm. Suposem que a l'entrada la velocitat de rotació val nin = 1500 min 1 i la potència P = 10 CV . Es demana: (a) Calculeu el parell Γin a l'entrada. (b) Feu un esquema i calculeu la relació de transmissió en totes les configuracions diferents del mecanisme (quatre).

(c) Calculeu el valor del parell màxim i mı́nim de sortida i dieu per quina configuració es dona cada valor Γout. 9