Problema 3 · Matemáticas II PAU Murcia Ordinaria 2021

3: En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de $5$ euros cada $\text{cm}^2$ y el material para el resto del cilindro tiene un coste de $3$ euros cada $\text{cm}^2$.

a)

[1 p.] Si denotamos por $x$ el radio de las tapas y por $y$ la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por $10\pi x^2 + 6\pi xy$.

b)

[1,5 p.] Si el volumen de la lata es $90\pi\,\text{cm}^3$, determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.