Problema 3 · Matemáticas II PAU Murcia Ordinaria 2022

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Un triatleta participa en una competición de SwimRun en la que debe ir desde el punto A, situado en la orilla de un canal de agua en reposo de $2\text{ km}$ de ancho, hasta el punto B, situado en la otra orilla del canal y a una distancia de $10\text{ km}$ del punto C (punto opuesto de A), tal y como se indica en la figura. Para ello, debe ir nadando desde A hasta cualquier punto D de la otra orilla del canal y continuar corriendo desde D hasta B. El triatleta tiene plena libertad para elegir D.

a)

[1 p.] Sabiendo que el triatleta es capaz de nadar a una velocidad de $4\text{ km/h}$ y de correr a una velocidad de $12\text{ km/h}$, demuestre que el tiempo total empleado por el triatleta en ir desde A hasta B (pasando por D) viene dado por la función $$f(x) = \frac{\sqrt{x^2+4}}{4} + \frac{10-x}{12}$$, donde $x$ denota la distancia de C a D.

b)

[1,5 p.] Calcule cuál debe ser el punto D para que el tiempo empleado por el triatleta en ir desde A hasta B sea mínimo. ¿Cuánto tardará en dicho caso?