Problema 3 · Matemáticas II PAU Murcia Extraordinaria 2024

Tema: Derivadas: monotonía, extremos y estudio de funciones · Del examen Extraordinaria (2024)

Enunciado

3: Considere la función f(x)=2x2x2−2x+3f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 2x + 3}, definida para todo valor de x∈Rx \in \mathbb{R}.

a)

[0,5] Calcule lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x) y lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

b)

[1,5] Determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función f(x)f(x) y calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos).

c)

[0,5] Justifique que la función alcanza sus extremos absolutos (máximo y mínimo absolutos) y calcule el valor de dichos extremos absolutos.

Enunciado: Problema 3 · Matemáticas II PAU Murcia Extraordinaria 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) [0,5] Calcule lím_{x -> -inf} f(x)

Solución: 2

a) [0,5] Calcule lím_{x -> +inf} f(x)

Solución: 2

b) [1,5] Intervalo de crecimiento

Solución: (0, 3)

b) [1,5] Intervalos de decrecimiento

Solución: (-∞, 0) ∪ (3, +∞)

b) [1,5] Mínimo relativo

Solución: (0, 0)

b) [1,5] Máximo relativo

Solución: (3, 3)

c) [0,5] Valor del mínimo absoluto

Solución: 0

c) [0,5] Valor del máximo absoluto

Solución: 3

c) [0,5] Justificación de que la función alcanza sus extremos absolutos

Solución: La función es continua en todo R\mathbb{R} y tiende a 2 cuando x→±∞x \to \pm\infty. Como f(x)≥0f(x) \ge 0 para todo xx y f(0)=0f(0) = 0, alcanza un mínimo absoluto en (0,0)(0,0). Al ser f(3)=3>2f(3) = 3 > 2, el máximo relativo en x=3x=3 es también el máximo absoluto.

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