Pregunta 2 - Opción 2.1 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid Ordinaria 2026

Enunciado

Considere la función real de variable real $f(x) = x(1 - x^2) + e^{-\lambda x},$ donde $\lambda$ es un parámetro real sin especificar.

2.1.a)

Calcule $F(x)$ , la primitiva de $f(x)$ , tal que $F(0) = 1$ .

2.1.b)

Obtenga el área entre la curva de $f(x)$ y el eje horizontal en el intervalo $[0, 1]$ .

2.1.c)

¿Para qué valores de $\lambda$ es $f'(0)$ positiva?

Enunciado: Pregunta 2 - Opción 2.1 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid Ordinaria 2026

Según los criterios oficiales de corrección

2.1.a) Calcule F(x), la primitiva de f(x), tal que F(0) = 1.

Solución: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} - \frac{e^{-\lambda x}}{\lambda} + 1 + \frac{1}{\lambda}$

2.1.b) Obtenga el área entre la curva de f(x) y el eje horizontal en el intervalo [0, 1].

Solución: $\frac{1}{4} + \frac{1 - e^{-\lambda}}{\lambda}$

2.1.c) ¿Para qué valores de lambda es f'(0) positiva?

Solución: $\lambda < 1$

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