Ejercicio 3 - Pregunta 3.1 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid Extraordinaria 2025

Considere la función real de variable real

$$f(x) = x(x^2 + a),$$

donde $a > 0$ es un parámetro real.

3.1.a)

Calcule el valor de $a$ para que la primitiva de $f(x)$, $F(x)$, cumpla que $F(0) = 0$ y $F(1) = 1$.

3.1.b)

Para $a = \frac{3}{2}$, obtenga el área del recinto delimitado por $f(x)$, el eje horizontal y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$.

3.1.c)

Halle los valores de $a$ que hacen que la pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en el punto $x = 1$ sea $1$.