Problema 2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja Ordinaria 2022

Bloque 2. Análisis.

2.1.

Representa conjuntamente, en el intervalo de abscisas $[-2, 3]$, las gráficas de las funciones $f$ y $g$ dadas por

$$f(x) = x^2 + 2x \quad\text{y}\quad g(x) = 5 - 2x.$$ [1.5 puntos]

¿Qué punto $a$ hace que sea continua la función

$$h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } -2 \le x < a, \\ g(x) & \text{si } a \le x \le 3? \end{cases}$$

Resalta la gráfica de $h$ en el dibujo anterior. ¿Cuáles son el máximo y el mínimo de los valores de $h$ en $[-2, 3]$? [1 punto]

2.2.

La distancia que ha recorrido un coche hasta el instante $t$, desde que arrancó en $t = 0$, viene dada por la siguiente función $e(t)$ entre $t = 1$ y $t = 4$:

$$e(t) = \begin{cases} 120t + 90 & \text{si } 1 \le t < 3, \\ C - 240t + 150t^2 - 20t^3 & \text{si } 3 \le t \le 4. \end{cases}$$

En $t = 4$ se para, de forma que $e(t) = e(4)$ para cada $t$ en $(4, 5]$.

(i)

Calcula el valor de $C$, considerando que $e(t)$ define una función continua. [0.75 puntos]

(ii)

La velocidad en cada instante $v(t)$ es la derivada del espacio recorrido, es decir $v(t) = e'(t)$. Expresa cuánto vale dicha derivada en cada punto, e investiga si es una función continua en $[1, 5]$. ¿Cómo expresarías, en términos de la velocidad, que la gráfica de $e(t)$ es recta en el intervalo $[1, 3]$ y en el intervalo $[4, 5]$? [1 punto]

(iii)

Calcula la distancia recorrida entre $t = 3$ y $t = 4$, es decir $e(4) - e(3)$. ¿Por qué es igual a $\int_3^4 v(t)\,dt$? [0.75 puntos]