Ejercicio E5 · Matemáticas II PAU Castilla y León Ordinaria 2022

Dada la función f(x) = xe^x, determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Solución: Dominio: $\mathbb{R}$. Asíntota horizontal: $y = 0$ en $-\infty$. Decreciente en $(-\infty, -1)$, creciente en $(-1, +\infty)$. Mínimo relativo en $(-1, -1/e)$. Convexa (hacia arriba) en $(-2, +\infty)$, cóncava (hacia abajo) en $(-\infty, -2)$. Punto de inflexión en $(-2, -2/e^2)$.

Esbócese también su gráfica.

Solución: Gráfica que pasa por el origen $(0,0)$, tiende a $y=0$ por debajo del eje $X$ cuando $x \to -\infty$, tiene un punto de inflexión en $(-2, -2/e^2) \approx (-2, -0{,}27)$, alcanza un mínimo relativo en $(-1, -1/e) \approx (-1, -0{,}37)$ y crece hacia $+\infty$ con concavidad hacia arriba para $x > -1$.