Ejercicio 3B · Matemáticas II PAU Canarias Junio 2022

Tema: Problemas métricos: ángulos, distancias, simetrías, áreas y volúmenes · Del examen Junio (2022)

Enunciado

3B. En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones siguientes:

π≡{x=1+t+4sy=1+sz=3−2t−5s;r1≡x+45=y+56=z−10;r2≡{4x+3y=7y+4z=5\pi \equiv \begin{cases} x = 1 + t + 4s \\ y = 1 + s \\ z = 3 - 2t - 5s \end{cases} \quad; \quad r_1 \equiv \frac{x+4}{5} = \frac{y+5}{6} = \frac{z-1}{0} \quad; \quad r_2 \equiv \begin{cases} 4x + 3y = 7 \\ y + 4z = 5 \end{cases}

a)

Calcula la ecuación de la recta ss, perpendicular al plano π\pi y que contiene el punto de intersección de las rectas r1r_1 y r2r_2. [1,25 ptos]

b)

¿Es cierto que el ángulo entre las rectas r1r_1 y r2r_2 es menor de 45∘45^\circ? Justifícalo. [1,25 ptos]

Enunciado: Ejercicio 3B · Matemáticas II PAU Canarias Junio 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Punto de intersección de r1 y r2

Solución: P(1,1,1)P(1, 1, 1)

a) Vector normal al plano π

Solución: n⃗π=(2,−3,1)\vec{n}_\pi = (2, -3, 1) / (−2,3,−1)(-2, 3, -1)

a) Calcula la ecuación de la recta s, perpendicular al plano π y que contiene el punto de intersección de las rectas r1 y r2

Solución: x−12=y−1−3=z−11\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 1}{1} / {x=1+2ty=1−3tz=1+t\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 - 3t \\ z = 1 + t \end{cases}

b) ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas r1 y r2 es menor de 45°? Justifícalo

Solución: No, es falso. El ángulo es de aproximadamente 78,7∘78{,}7^\circ (o cos⁡α≈0,196<22\cos \alpha \approx 0{,}196 < \frac{\sqrt{2}}{2}), que es mayor de 45∘45^\circ.

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