Bloque 1.B - Discusión de sistemas · Matemáticas II PAU Asturias Ordinaria 2021

Tema: Sistemas de ecuaciones lineales: planteamiento, discusión y resolución · Del examen Ordinaria (2021)

Enunciado

Sea la matriz A=(a0−1−10001a),a∈RyX=(xyz)A = \begin{pmatrix} a & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix},\quad a \in \mathbb{R} \quad\text{y}\quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

a)

Escribe el sistema de ecuaciones AX=XAX = X en la forma BX=0BX = 0.

[0,5 puntos]

Introduce los elementos de la matriz B=A−I3B = A - I_3 de orden 3×33\times 3:

B=B =

b)

Estudia para qué valores de aa el sistema tiene infinitas soluciones.

[1 punto]

a1=a_1 =

a2=a_2 =

Enunciado: Bloque 1.B - Discusión de sistemas · Matemáticas II PAU Asturias Ordinaria 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Elemento B[1,1] de la matriz B

Solución: a - 1

a) Elemento B[1,2] de la matriz B

Solución: 0

a) Elemento B[1,3] de la matriz B

Solución: -1

a) Elemento B[2,1] de la matriz B

Solución: -1

a) Elemento B[2,2] de la matriz B

Solución: -1

a) Elemento B[2,3] de la matriz B

Solución: 0

a) Elemento B[3,1] de la matriz B

Solución: 0

a) Elemento B[3,2] de la matriz B

Solución: 1

a) Elemento B[3,3] de la matriz B

Solución: a - 1

b) Primer valor crítico de a para infinitas soluciones

Solución: 0 / 2

b) Segundo valor crítico de a para infinitas soluciones

Solución: 2 / 0

b) Justificación y estudio del sistema

Solución: Al ser un sistema homogéneo, tiene siempre la solución trivial. Tendrá infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado) cuando el rango de la matriz B sea menor que 3, lo cual ocurre si y solo si su determinante se anula: |B| = 0. Como |B| = -a(a-2), esto se cumple exactamente para a = 0 y a = 2.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

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