Ejercicio 1º · Dibujo técnico II PAU Andalucía Reserva B Opción A 2019

1. Determinar el centro O y los vértices V y V'. 2. Dibujar la hipérbola. 3. Trazar la tangente y la normal en el punto A.

Solución: 1. Centro $O$ y vértices $V$ y $V'$: - El centro $O$ es el punto medio del segmento $FF'$ sobre el eje $E$ (obtenido mediante mediatriz de $FF'$). - Por definición de la hipérbola, para todo punto de la curva se cumple $|AF' - AF| = 2a$. Se miden o transportan con el compás las distancias $r_1 = AF$ y $r_2 = AF'$. Su diferencia $r_2 - r_1$ es la longitud del eje real $2a = V V'$. - A partir del centro $O$ y sobre el eje $E$, se sitúan los vértices $V$ y $V'$ a distancia $a$ a ambos lados de $O$ ($OV = OV' = a$). 2. Dibujo de la hipérbola: - Se determinan varios puntos de las dos ramas por el método de puntos (o circunferencias focales): eligiendo puntos arbitrarios $1, 2, 3...$ en el eje $E$ a partir de los vértices hacia el exterior, con radios $V1$ y $V'1$ haciendo centro en $F$ y $F'$, cuyos arcos se intersecan en puntos de la cónica. - Opcionalmente se pueden trazar las asíntotas determinando $b = \sqrt{c^2 - a^2}$ para ajustar la curvatura de las ramas. - Se trazan a mano alzada o con plantilla de curvas las dos ramas pasando por los vértices y los puntos hallados (incluyendo $A$). 3. Tangente y normal en el punto $A$: - Se trazan los radios vectores $AF$ y $AF'$. - La recta tangente $t$ a la hipérbola en $A$ es la bisectriz del ángulo formado por los radios vectores $\widehat{FAF'}$. - La recta normal $n$ en $A$ es la perpendicular a la tangente $t$ que pasa por el punto $A$ (bisectriz del ángulo suplementario).