Ejercicio 4.c - Valores propios y diagonalización · Álgebra UOC Examen Final de Álgebra - Turno 3

Tema: Valores y vectores propios. Diagonalización · Del examen Examen Final de Álgebra - Turno 3

Enunciado

Ejercicio 4: Aplicación lineal, matriz canónica, biyectividad y valores propios

Sea f:R2→R2f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 el endomorfismo definido en coordenadas respecto a la base canónica por:f(x,y)=(x+(b−a)(a+1)x+(a+1)2(a−b)y,  (b−a)x+y+(a−b)(a+1)y)f(x, y) = \left(x + (b - a)(a + 1)x + (a + 1)^2(a - b)y,\; (b - a)x + y + (a - b)(a + 1)y\right)donde aa es un valor numérico fijo perteneciente al conjunto {0,1,…,9}\{0, 1, \dots, 9\} y bb es un parámetro real.

c. Calcule el polinomio característico y halle los valores propios de ff. A partir de los valores propios obtenidos, ¿es posible concluir si ff es diagonalizable? Justifique su respuesta.

No

Sí

Enunciado: Ejercicio 4.c - Valores propios y diagonalización · Álgebra UOC Examen Final de Álgebra - Turno 3

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

c. Calcule el polinomio característico de f.

Solución: (1−t)2(1 - t)^2 / (t−1)2(t - 1)^2 / t2−2t+1t^2 - 2t + 1

c. Halle los valores propios de f.

Solución: 1

c. A partir de los valores propios obtenidos, ¿es posible concluir si f es diagonalizable?

Solución: No

c. Justifique su respuesta sobre la diagonalizabilidad de f.

Solución: No es posible concluirlo únicamente con los valores propios, ya que depende de si la multiplicidad geométrica dim(ker(f - I)) es igual a la algebraica (2), lo cual solo ocurre si a = b.

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