Solucionari de Càlcul: Funcions Reals de n Variables i Optimització sense Restriccions

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 1: Representació gràfica del domini

Trobeu i representeu en el pla cartesià el domini de definició de la funció bivariable corresponent a la següent regió:

Descriviu analíticament i geomètricament el domini $D \subset \mathbb{R}^2$ representat en la figura:

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 2: Regió del domini per a quatre funcions

Associeu a cadascun dels següents apartats la representació gràfica corresponent al seu domini:

a.

b.

c.

d.

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Preguntes 3-6: Test sobre conceptes bàsics de càlcul multivariable

Indiqueu l'opció correcta per a cadascuna de les següents qüestions:

a)

Pregunta 3

Opció

b)

Pregunta 4

Opció

c)

Pregunta 5

Opció

d)

Pregunta 6

Opció

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 7: Famílies de corbes de nivell

Descriviu el mapa de corbes de nivell mostrat en cadascun dels casos següents:

a)

b)

c)

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Preguntes 8-9: Test sobre corbes de nivell i continuïtat

Indiqueu l'opció vàlida en cadascuna de les següents qüestions:

a)

Pregunta 8

Opció ()

b)

Pregunta 9

Opció ()

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

a.

Identifiqueu gràficament el domini i les corbes de nivell.

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

b.

Calculeu el vector gradient al punt $(0,0)$.

$\nabla f(0,0) = ($, $)$

c.

Determineu la derivada direccional en la direcció del vector unitari $\vec{v} = (0, -1)$ al punt $(0,0)$.

Tema 1. Pregunta 11: Test sobre diferenciabilitat

Indiqueu la resposta correcta a la pregunta teòrica plantejada a l'exercici 11.

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 12: Domini, corbes de nivell i derivació

A partir de la funció analitzada:

a.

Descriviu el domini i les corbes de nivell gràfiques.

Tema 1. Exercici 12: Domini, corbes de nivell i derivació

A partir de la funció analitzada:

b.

Trobeu el gradient de la funció en el punt $\left(\frac{1}{2},1\right)$.

$\big($ $,$ $\big)$

c.

Calculeu la derivada direccional $f_{\vec{u}}'\left(\frac{1}{2},1\right)$ segons la direcció del vector $\vec{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Tema 1. Exercici 13: Domini, corbes de nivell i gradient

Donada la funció el domini i corbes de nivell de la qual es mostren a continuació:

Donada la funció el domini i corbes de nivell de la qual es mostren a continuació:

a.

Examineu el domini i la família de rectes de nivell.

Tema 1. Exercici 13: Domini, corbes de nivell i gradient

Donada la funció el domini i corbes de nivell de la qual es mostren a continuació:

Donada la funció el domini i corbes de nivell de la qual es mostren a continuació:

b.

Obtingueu el gradient en el punt $(1,1)$.

($\,$ $,$ $\,$)

c.

Determineu la derivada direccional de $f$ en el punt $(1,1)$ segons el vector $\vec{v} = \left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$.

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 14: Càlcul d'elasticitats d'una funció

Avalueu l'elasticitat de la funció $f$ respecte a la variable $x$ en els següents supòsits:

a.

$E_x f(5) =$

b.

c.

$E_x f(0) =$

d.

$E_x f(3) =$

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 15: Elasticitats parcials multivariables

Per a una funció de tres variables $f(x, y, z)$, avalueu les elasticitats parcials al punt $(1, 1, 1)$:

a.

$E_x f(1, 1, 1) =$

b.

$E_y f(1, 1, 1) =$

c.

$E_z f(1, 1, 1) =$

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 16: Càlcul de derivades parcials en punts concrets

Doneu els valors de les derivades parcials primeres de la funció $f(x, y)$ en els punts assenyalats:

a.

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =$

b.

$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) =$

$\frac{\partial f}{\partial y}(2,3) =$

Tema 1. Exercici 17: Pla tangent i aproximació lineal de la funció

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Considereu la funció $f$ diferenciable en el punt $(1, 2)$.

a.

Determineu l'equació del pla tangent $T(x, y)$ a $f$ en el punt $(1, 2)$.

b.

Utilitzeu el pla tangent per aproximar el valor de la funció en el punt $(1.1, 2.01)$ i compareu-lo amb el valor exacte $f(1.1, 2.01) = -1.744479$.

Tema 1. Exercici 18: Càlcul de la derivada direccional màxima

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Calculeu el mòdul del gradient o la taxa màxima de variació associada al problema 18.

Tema 1. Exercici 19: Anàlisi marginal, pla tangent i elasticitat de la demanda/producció

S'analitza una funció de dues variables $f(x, y)$ en el punt de referència $(10, 5)$.

S'analitza una funció de dues variables $f(x, y)$ en el punt de referència $(10, 5)$.

a.

Calculeu $f(10, 5)$.

b.

Trobeu el polinomi de Taylor d'ordre 1 (pla tangent) $T(x, y)$ i utilitzeu-lo per estimar $T(10.1, 5)$.

Tema 1. Exercici 19: Anàlisi marginal, pla tangent i elasticitat de la demanda/producció

S'analitza una funció de dues variables $f(x, y)$ en el punt de referència $(10, 5)$.

S'analitza una funció de dues variables $f(x, y)$ en el punt de referència $(10, 5)$.

c.

Calculeu i interpreteu econòmicament l'elasticitat parcial $E_x f(10, 5)$.

d.

Compareu el valor exacte $f(10.1, 5) = 767.6$ amb l'aproximació lineal i amb l'estimació obtinguda a partir de l'elasticitat.

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 20: Suma de derivades parcials de primer ordre

Comproveu la identitat formada per la suma de les derivades parcials primeres de la funció de tres variables $f(x, y, z)$.

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 21: Gradient i avaluació en un punt

Trobeu el vector gradient $\nabla f(x, y)$ per a la funció $f(x, y)$ i calculeu el seu valor al punt $(0, \pi)$.

a)

b)

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 22: Derivades parcials d'ordre superior i matrius hessianes

Per a les funcions $f(x, y, z)$ i $g(x, y)$:

a.

Determineu les derivades parcials segones de $f$ i la matriu hessiana $Hf(x, y, z)$. Introduïu els elements de la matriu hessiana:

b.

Calculeu les derivades parcials segones de $g$ i construïu la matriu hessiana $Hg(x, y)$. Escriviu les expressions de:

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 23: Matriu hessiana d'una funció de tres variables

Calculeu el valor de la matriu hessiana $Hf$ avaluada en el punt $(1, 0, 3)$.

Tema 1. Exercici 24: Estimació de l'increment de la producció diària

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Estimeu la variació que experimenta la producció diària mitjançant el diferencial total i compareu-la amb el seu increment real.

a)

b)

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Estimeu la variació aproximada que tindrà el benefici mensual d'una empresa davant d'una petita variació dels seus factors de producció.

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Indiqueu l'opció correcta a cadascuna de les preguntes:

a.

Pregunta 26

b.

Pregunta 27

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Sigui $z = f(x, y)$ amb $x = u \cdot w$ i $y = v \cdot w$.

a.

Expresseu les derivades parcials $\frac{\partial z}{\partial u}$, $\frac{\partial z}{\partial v}$ i $\frac{\partial z}{\partial w}$ en funció de les derivades de $f$.

b.

Avalueu la suma $\frac{\partial z}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial w}$ al punt $(u, v, w) = (1, 1, -1)$.

Tema 1. Preguntes 29-32: Test sobre homogeneïtat i derivació implícita

Trieu la resposta correcta en cadascuna de les següents preguntes d'opció múltiple:

Trieu la resposta correcta en cadascuna de les següents preguntes d'opció múltiple:

a.

Pregunta 29

b.

Pregunta 30

Tema 1. Preguntes 29-32: Test sobre homogeneïtat i derivació implícita

Trieu la resposta correcta en cadascuna de les següents preguntes d'opció múltiple:

c)

Pregunta 31: Trieu la resposta correcta.

d)

Pregunta 32: Trieu la resposta correcta.

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Considerant una funció implícita $z(x, y)$ definida per una equació de nivell amb constant $c = 4$, determineu les derivades parcials en el punt $(0, e)$:

a)

b)

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Determineu si cadascuna de les funcions següents és homogènia i, en cas afirmatiu, indiqueu-ne el grau:

a)

Primera funció plantejada:

És homogènia?

b)

Segona funció plantejada:

És homogènia?

Tema 1. Exercici 10: Domini, corbes, gradient i derivada direccional

Considerant la funció representada mitjançant el seu domini i el seu mapa de corbes de nivell:

Tema 1. Exercici 35: Determinació del grau d'homogeneïtat

Indiqueu el grau d'homogeneïtat per a les tres funcions següents:

a.

Funció de l'apartat (a).

b.

Funció de l'apartat (b).

c.

Funció de l'apartat (c).

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Estudieu si el teorema de Weierstrass garanteix l'existència d'extrems globals per a una funció $f$ definida sobre el conjunt $D$ en cadascun dels tres casos següents:

a)

Funció $f$ contínua sobre $D$, sent $D$ un conjunt tancat i acotat.

¿El teorema de Weierstrass garanteix l'existència d'òptims globals?

Sí

No

b)

Funció $f$ no contínua sobre $D$, essent $D$ tancat i acotat.

¿El teorema de Weierstrass garanteix l'existència d'òptims globals?

Sí

No

c)

Funció $f$ no contínua sobre $D$, no sent $D$ un conjunt acotat.

¿El teorema de Weierstrass garanteix l'existència d'òptims globals?

Sí

No

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

a)

$f$ contínua sobre un conjunt $D$ tancat i acotat.

¿Es garanteix l'existència d'òptims globals?

Sí

No

b)

$f$ contínua sobre un altre conjunt $D$ tancat i acotat.

¿Es garanteix l'existència d'òptims globals?

Sí

No

c)

$f$ contínua sobre un conjunt $D$ que no és tancat. Es pot descartar completament l'existència d'òptims?

¿Es garanteix l'existència d'òptims globals pel teorema de Weierstrass?

Sí

No

¿Es pot descartar completament l'existència d'òptims?

Sí

No

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les preguntes següents:

a)

Pregunta 3

Opció ()

b)

Pregunta 4

Opció ()

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Trobeu els punts crítics de la funció $f(x, y, z)$ igualant el seu gradient a zero.

Punt crític:

$($ $,$ $,$ $)$

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Tema 2. Preguntes 6-7: Test sobre condicions d'optimalitat

Seleccioneu l'opció correcta:

a)

Pregunta 6

b)

Pregunta 7

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Tema 2. Exercici 8: Maximització del benefici empresarial

Determineu la quantitat a produir de cadascun dels dos béns, $q_1$ i $q_2$, per tal de maximitzar la funció de benefici de l'empresa.

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Tema 2. Exercici 9: Classificació de punts crítics mitjançant el hessià

Trobeu el punt crític de la funció $f(x, y)$ i classifiqueu-lo mitjançant la matriu hessiana $Hf$.

Tema 2. Exercici 10: Determinació d'extrems relatius

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Trobeu i caracteritzeu el punt crític de la funció analitzada a l'exercici 10.

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Tema 2. Exercici 11: Càlcul i classificació d'extrems

Localitzeu el punt crític de la funció $f$ i determineu si es tracta d'un extrem relatiu.

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Tema 2. Exercici 12: Classificació de punts singulars múltiples

Classifiqueu el comportament de la funció $f$ en els punts crítics $(0, 0)$ i $(\pi, -2)$.

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Tema 2. Exercici 13: Anàlisi d'òptims d'una funció

Determineu si la funció $f$ posseeix òptims locals o globals a partir dels seus punts estacionaris.

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Tema 2. Exercici 14: Existència d'extrems i punts de sella

Examineu els extrems de la funció $f$ identificant el seu únic punt crític.

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Tema 2. Preguntes 15-17: Test sobre concavitat, convexitat i extrems

Escolliu l'opció correcta a cadascuna de les preguntes teòriques:

a.

Pregunta 15:

b.

Pregunta 16:

c.

Pregunta 17:

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Tema 2. Exercici 18: Condicions de convexitat segons un paràmetre

Trobeu el rang de valors del paràmetre real $a$ per als quals la funció $f$ és convexa a tot el seu domini.

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Tema 2. Exercici 19: Cerca i justificació de mínims globals

Determineu l'existència d'òptims absoluts o globals per a la funció estudiada.

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Trobeu i caracteritzeu l'extrem global de la funció $f$.

(

,

)

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Trobeu les quantitats òptimes $x$ i $y$ en cadascun dels dos escenaris del model:

a)

Escenari sense impostos:

$x =$

$y =$

b)

Escenari amb introducció d'un impost unitari:

$x =$

$y =$

Tema 2. Exercici 2: Continuïtat, compacitat i òptims globals

Raoneu si es garanteix l'existència d'òptims globals per als supòsits següents:

Determineu els nivells de producció $q_1$ i $q_2$ que maximitzen el benefici en les dues situacions analitzades:

a)

Primer cas (apartat a):

b)

Segon cas (apartat b):