Pràctica 2: Espai euclidià i formes quadràtiques

Exercici 1. Vector amb paràmetre: producte escalar, norma i perpendicularitat

Considerant els vectors $\vec{u} = (3, 1, 2, k)$ i $\vec{v} = (-3, 4, 2k, k)$ de $\mathbb{R}^4$, determineu:

a)

El valor del producte escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$ en funció de $k$.

b)

La norma euclidiana del vector $\vec{u}$.

c)

Els valors del paràmetre $k$ per als quals ambdós vectors són ortogonals.

Exercici 2. Angle i distància entre dos vectors concrets

Donats els vectors de $\mathbb{R}^3$ $\vec{u} = (3, 4, 1)$ i $\vec{v} = (-1, 1, 1)$:

a)

Trobeu l'angle format pels vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

°

b)

Calculeu la distància euclidiana existent entre ells.

Exercici 3. Càlcul d'angles i troballa de paràmetre per angle fixat

Prenem els vectors de $\mathbb{R}^3$ $\vec{u} = (-2, 1, 0)$, $\vec{v} = (4, 1, -1)$ i $\vec{w} = (2, k, 0)$:

a)

Indiqueu l'angle que formen $\vec{u}$ i $\vec{v}$ expressat en graus sexagesimals.

°

b)

Determineu el paràmetre $k$ de manera que l'angle entre $\vec{v}$ i $\vec{w}$ sigui exactament de $60^\circ$.

Siguin els vectors $\vec{u} = (2, 4, 5, k)$, $\vec{v} = (3, 2, 2, 0)$ i $\vec{w} = (k, -8, 0, k)$ de $\mathbb{R}^4$:

a)

Troba els valors del paràmetre $k$ per tal que $\vec{u}$ i $\vec{w}$ siguin ortogonals.

b)

Determina $k$ si s'imposa que la distància entre $\vec{v}$ i $\vec{w}$ sigui igual a 11 unitats.

Contesteu a les següents qüestions relacionades amb la norma d'un vector:

a.1)

Determineu per a quins valors del paràmetre $k$ el vector $\vec{w} = (7, k)$ és unitari.

a.2)

Determineu per a quins valors del paràmetre $k$ el vector $\vec{w} = (\frac{1}{2}, k)$ és unitari.

b)

Justifiqueu raonadament si és possible que un vector sigui unitari quan un dels seus components és estrictament major que 1.

A partir dels vectors $\vec{u} = (2, 1, 1)$ i $\vec{v} = (1, 2, 2)$:

a)

Calculeu la distància que separa $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

b)

Esbrineu si existeix algun vector que tingui la forma $\vec{w} = (x, 2, 3)$ tal que la distància $d(\vec{v}, \vec{w})$ sigui exactament 4 unitats. En cas afirmatiu, trobeu-ne les solucions per a $x$.

Considerant que $f$ és una forma quadràtica de $\mathbb{R}^3$ que té associada la següent matriu simètrica:$$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}$$

a)

Troba l'expressió analítica desenvolupada de $f(x, y, z)$.

b)

Analitza el signe de la forma quadràtica mitjançant els seus menors principals dominants.

Exercici 8. Estudi de signe de forma quadràtica sobre un subespai

Classifiqueu el signe de la forma quadràtica de $\mathbb{R}^3$ definida per

$$f(x, y, z) = 4x^2 - y^2 + 3z^2 + 2xy + 6xz - 2yz$$

quan es restringeix al subespai vectorial

$$S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y = 0\}$$

Exercici 9. Classificació d'una forma quadràtica lliure i restringida

Es considera la forma quadràtica a $\mathbb{R}^3$ donada per l'expressió

$$f(x, y, z) = 5x^2 + 2y^2 + 2xy + 2xz - 4yz$$

a.

Estudieu el signe de la forma quadràtica en tot l'espai $\mathbb{R}^3$.

b.

Determineu el seu signe quan es restringeix al subespai $S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x + y - z = 0\}$.

Exercici 10. Determinació de paràmetre per a forma quadràtica definida positiva

Determineu el conjunt de valors del paràmetre real $k$ per als quals la forma quadràtica de $\mathbb{R}^3$ $$f(x, y, z) = kx^2 + 3y^2 + kz^2 + 2xy + 2yz + 4xz$$resulta ser definida positiva.