Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I

I 0 flashcards i 3 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES I Grau en Economia Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts de Matemàtiques I sobre diagonalització de matrius, càlcul de valors i vectors propis, matrius de pas i vectors ortogonals i ortonormals.

APREN.AI Índex 1 Càlcul de valors propis i condicions de diagonalització Multiplicitat i criteri de diagonalització 2 Determinació de vectors propis i construcció de les matrius D i C Resolució dels subespais propis Configuració de les matrius D i C 3 Ortogonalitat, ortonormalitat i normalització de vectors Definicions geomètriques a l'espai Obtenció de vectors ortonormals 4 Formulari Diagonalització i valors propis Vectors propis i construcció de matrius D i C Ortogonalitat i normalització Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Rn Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 1 1 Càlcul de valors propis i condicions de diagonalització EN ACABAR SABRÀS Calcular els valors propis d'una matriu mitjançant l'equació característica Avaluar la condició de diagonalització comparant dimensions de subespais i multiplicitats PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Com podem saber si una transformació lineal només escala vectors en determinades direccions? Una matriu quadrada és diagonalitzable si es pot transformar en una matriu diagonal mitjançant una matriu de canvi de base invertible.

Aquesta relació es formalitza amb l'expressió . DEFINICIÓ Un valor propi (VAP), representat habitualment com a , és un escalar que satisfà l'equació característica . Aquestes solucions o arrels s'obtenen en restar la variable als elements de la diagonal principal de la matriu . Multiplicitat i criteri de diagonalització En factoritzar el polinomi característic, s'identifiquen les arrels que conformen els valors propis. La multiplicitat algebraica ( ) correspon a l'exponent al qual està elevada cada arrel en aquesta factorització.

Perquè la matriu sigui completament diagonalitzable, cal que per a cada valor propi es compleixi la condició fonamental: Això vol dir que la dimensió del subespai propi ha de coincidir amb la multiplicitat de l'arrel. Per exemple, en el cas particular d'una matriu d'ordre 3 3, aquesta ha de tenir tres valors propis diferents; si algun valor propi es repeteix (amb multiplicitat dos), aquest ha de generar dos vectors propis linealment independents. COMPROVA-HO 2 Què cal que passi si en una matriu 3x3 un valor propi té multiplicitat m = 2 per ser diagonalitzable?

A D C D = C A C 1 λ det(A x Id) = 0 x A m λ dim E = λ m λ E λ × Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 2 ERROR FREQÜENT Assumir que una matriu no és diagonalitzable només perquè té valors propis repetits. La diagonalització és possible sempre que la dimensió del subespai propi associat coincideixi exactament amb la multiplicitat algebraica de l'arrel. PROCÉS Procés per determinar valors propis 1 Restar x a la diagonal Formar la matriu A - x Id 2 Calcular determinant Resoldre det(A - x Id) = 0 3 Factoritzar polinomi Trobar arrels i multiplicitats 4 Comprovar dimensions Verificar dim E_λ = m_λ IDEES CLAU La diagonalització requereix la relació matricial .

Els valors propis s'obtenen igualant a zero el determinant . La condició clau per diagonalitzar és que per a cada valor propi. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. Com es plantegen els valors propis a partir de la matriu A? 4. Què representa la multiplicitat ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5. Quina equació permet trobar els valors propis d'una matriu A? 6. Quina condició garanteix que una matriu sigui diagonalitzable? 7. En una matriu 3x3 amb un valor propi de multiplicitat 2, quants vectors ha de generar?

D = C A C 1 det(A x Id) dim E = λ m λ m λ dim E = m a) det(A + x·Id) = 1 b) det(A - x·Id) = 0 c) A · C = D d) dim E_λ = m_λ per a tot λ a) Tots els valors propis han de ser 0 b) El determinant de la matriu ha de ser nul c) La matriu ha de tenir rang 1 d) Un sol vector a) Cap vector b) Tres vectors c) Exactament dos vectors d) Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 3 8. Com es defineix la multiplicitat d'un valor propi?

2 Determinació de vectors propis i construcció de les matrius D i C EN ACABAR SABRÀS Calcular els vectors propis a través de l'eliminació de Gauss Construir correctament les matrius D i C mantenint la correspondència d'ordre PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Com s'empaqueten els vectors i valors propis per simplificar l'acció d'una matriu? Resolució dels subespais propis Un cop coneguts els valors propis , es procedeix a calcular els vectors propis (VEPS). Per a cada valor propi, es planteja el sistema homogeni i es resol aplicant el mètode de Gauss.

La solució del sistema s'obté en funció d'un o dos paràmetres, que descriuen la base del subespai propi associat: Aquests vectors generadors s'expressen sempre en disposició vertical.

Configuració de les matrius D i C Amb els valors i vectors propis identificats, es construeixen les matrius que intervenen en la diagonalització: Grau al qual està elevada l'arrel a) Valor del determinant associat b) Traça total de la matriu c) Nombre de files de la matriu d) λ (A λ Id) = 0 E = λ v 1x v 1y v 1z Matriu diagonal ( ): conté els valors propis ( ) al llarg de la seva diagonal principal, situant zeros a la resta de posicions: 1 D λ , λ , λ 1 2 3 D = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 Matriu de pas ( ): està formada per les columnes dels vectors propis associats: 1 C C = v 1x v 2x v 3x v 1y v 2y v 3y v 1z v 2z v 3z Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 4 És indispensable que l'ordre de les columnes a la matriu coincideixi exactament amb la posició dels valors propis corresponents a la diagonal de .

COMPROVA-HO 10 Com s'han de col·locar els vectors propis a la matriu de pas C? ERROR FREQÜENT Canviar l'ordre dels vectors propis a la matriu respecte a la posició dels valors propis a . Si la primera columna de és el vector propi , l'element de la fila 1 i columna 1 de ha de ser obligatòriament el seu valor propi associat . PROCÉS Muntatge de la matriu diagonal i de pas 1 Substituir λ en el sistema Plantejar (A - λ Id) = 0 2 Resolució amb Gauss Obtenir la base del subespai 3 Formar matriu C Disposar vectors com a columnes 4 Formar matriu D Col·locar λ a la diagonal IDEES CLAU Els vectors propis es troben substituint i resolent el sistema amb Gauss.

Els vectors propis es col·loquen sempre de forma vertical. La correspondència d'ordre entre les columnes de i la diagonal de ha de ser estricta. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Quin procediment s'utilitza per calcular els vectors propis un cop conegut λ? 12. Com es relacionen la matriu diagonal D i la matriu de pas C? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13. Quin mètode s'aplica directament per resoldre el sistema dels vectors propis? 14. Com es disposen els vectors propis per construir la matriu C?

C D C D C v 1 D λ 1 λ C D Regla de Sarrus a) Mètode de Newton b) Mètode de Ruffini c) Mètode de Gauss d) En columnes verticals a) En ordre descendent invertit b) Només a la diagonal c) En files horitzontals d) Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 5 15. Què passa si s'altera l'ordre dels vectors propis a C respecte a D? 16. Com s'expressa el resultat del sistema homogeni resolt per Gauss?

3 Ortogonalitat, ortonormalitat i normalització de vectors EN ACABAR SABRÀS Distingir entre vectors ortogonals i ortonormals segons les seves condicions analítiques Normalitzar vectors ortogonals multiplicant per l'invers del seu mòdul PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 17 Què hem de fer a un vector qualsevol perquè mantingui la seva direcció però la seva mida sigui exactament 1? Definicions geomètriques a l'espai Considerant dos vectors , es defineixen dues relacions principals segons el seu producte escalar i la seva longitud: Tipus de vectors Condició algebraica Interpretació geomètrica Ortogonals Són vectors perpendiculars entre si. Ortonormals Vectors simultàniament perpendiculars i unitaris.

Obtenció de vectors ortonormals Quan es disposa de dos vectors que ja són ortogonals, és possible transformar-los fàcilment en una parella de vectors ortonormals seguint aquest procediment de normalització: Com a resultat d'aquesta operació, els nous vectors mantenen la perpendicularitat original i passen a tenir norma igual a la unitat.

La matriu esdevé ortogonal a) Els valors propis canvien de signe b) La igualtat D = C·A·C ¹ falla c) La dimensió del subespai es redueix d) En funció d'un o dos paràmetres a) Com un polinomi de segon grau b) Com una constant entera única c) Mitjançant una matriu no invertible d) Rn v, w Rn v w = 0 v w = 0 i v = w = 1 Calcular el mòdul: es determina la norma o magnitud de cadascun dels vectors ( i ). 1 v w Trobar la inversa del mòdul: es calcula l'invers multiplicatiu del valor obtingut ( ). 2 m dul o ˋ 1 Multiplicar pel vector: es multiplica cadascun dels vectors pel seu factor invers corresponent ( ).

3 v 1 v Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 6 COMPROVA-HO 18 Quines dues propietats han de complir dos vectors per ser considerats ortonormals? ERROR FREQÜENT Normalitzar vectors que no són ortogonals prèviament esperant obtenir una base ortonormal. Dividir pel mòdul fa que els vectors siguin unitaris, però no en canvia l'angle; cal verificar abans que . PROCÉS Passos per normalitzar vectors ortogonals 1 Calcular el mòdul Trobar ""v"" i ""w"" 2 Invertir el mòdul Obtenir 1/mòdul 3 Multiplicar pel vector Generar vectors ortonormals IDEES CLAU Dos vectors són ortogonals si el seu producte escalar és nul ( ).

Dos vectors són ortonormals si són ortogonals i tenen longitud unitària ( ). Per transformar un vector ortogonal en unitari, es multiplica pel valor invers del seu mòdul. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 19. Quina condició defineix que dos vectors v i w siguin ortogonals? 20. Quin és el procediment per calcular un vector unitari a partir d'un de donat? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 21. Quan es diu que dos vectors v i w són ortogonals? 22. Quina condició addicional tenen els vectors ortonormals respecte als ortogonals? 23. Com es converteix un vector en unitari segons els apunts?

v w = 0 v w = 0 v = w = 1 Quan ""v"" = ""w"" a) Quan v · w = 0 b) Quan v · w = 1 c) Quan v = -w d) El seu producte ha de ser positiu a) Ambdós han de tenir mòdul 1 b) Han de tenir sentits oposats c) Han de pertànyer a R³ estrictament d) Restant el mòdul a cada component a) Multiplicant per la inversa del mòdul b) Multiplicant pel quadrat del mòdul c) Sumant la inversa del mòdul d) Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 7 24. Quin concepte geomètric equival a dir que dos vectors són ortogonals? 4 Formulari Diagonalització i valors propis Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza : matriu quadrada; : valors propis (arrels); : matriu identitat.

Per obtenir els valors propis (VAPS) restant a la diagonal principal. : subespai propi; : multiplicitat algebraica (grau de l'arrel). Condició fonamental perquè una matriu sigui diagonalitzable. Vectors propis i construcció de matrius D i C Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza Substituir a Resolució per Gauss Solució en paràmetres com a base : valor propi; : subespai propi generat per vectors en vertical. Càlcul dels vectors propis (VEPS) associats a cada valor propi. : matriu diagonal amb els ; : matriu de pas amb vectors propis en columnes; : matriu original. Relació de diagonalització (l'ordre de columnes de ha de coincidir amb la diagonal de ).

Ortogonalitat i normalització Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza : parella de vectors. Condició perquè dos vectors siguin ortogonals (perpendiculars). : mòdul o norma del vector. Condició perquè dos vectors siguin ortonormals (perpendiculars i unitaris). Calcular mòduls Calcular inversa Multiplicar : mòdul del vector; : vector unitari obtingut. Obtenció de dos vectors ortonormals a partir de dos vectors ortogonals.

Són equivalents a) Són paral·lels b) Són colineals c) Són perpendiculars d) det(A x Id) = 0 A x = λ Id x dim E = λ m λ E λ m λ λ (A λ Id) = 0 E λ λ E λ D = C A C 1 D λ C A C D v w = 0 v, w Rn v w = 0 i v = w = 1 v v , w m dul o ˋ 1 v 1 v v v 1 v Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 8 Errors típics Alterar l'ordre entre D i C: no respectar la correspondència entre la posició del valor propi a la diagonal de i la columna del seu vector propi a . Disposició horitzontal: col·locar els vectors propis en files a la matriu de pas en lloc de posar-los en vertical com a columnes.

Normalitzar vectors no ortogonals: dividir pel mòdul sense haver comprovat abans que el producte escalar és nul. D C C v w = 0 Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 9 Solucions de les preguntes de repàs 1. Trobant els valors propis de la matriu, que indiquen justament els factors d'escala sobre les direccions invariables. 2. Cal que el subespai associat generi exactament dos vectors propis linealment independents, complint dim E_λ = 2. 3. Es resten els valors x a la diagonal principal d'A i es calcula el determinant fent . 4. Representa el grau o exponent al qual està elevada cada arrel en el polinomi característic. 5. c) det(A - x·Id) = 0.

Els valors propis s'obtenen restant x a la diagonal i resolent l'equació determinant det(A - x·Id) = 0. 6. a) dim E_λ = m_λ per a tot λ. La dimensió de cada subespai propi ha d'igualar la multiplicitat algebraica del valor propi. 7. d) Exactament dos vectors. Per complir dim E_λ = m_λ, l'arrel doble ha de proporcionar dos vectors independents. 8. a) Grau al qual està elevada l'arrel. La multiplicitat algebraica és el grau de l'arrel en factoritzar el polinomi característic. 9. Col·locant els vectors com a columnes d'una matriu C i els valors a la diagonal de D, fent que el canvi de base desacobli les variables. 10.

S'han de situar en vertical com a columnes, fent coincidir cada vector amb la posició del seu valor propi a la matriu diagonal. 11. Se substitueix λ a la matriu i es resol el sistema mitjançant el mètode de Gauss. 12. Les columnes de són els vectors propis col·locats verticalment i cadascun ha de correspondre al valor propi situat a la mateixa columna de . 13. d) Mètode de Gauss. El document especifica substituir els valors propis i resoldre el sistema aplicant Gauss. 14. a) En columnes verticals. Els vectors propis s'han de situar sempre com a columnes verticals a la matriu de pas C. 15. c) La igualtat D = C·A·C ¹ falla.

Els vectors han de coincidir exactament en la posició que ocupen els seus respectius valors propis a D. 16. a) En funció d'un o dos paràmetres. La solució indeterminada es descriu a través de paràmetres que generen el subespai propi. 17. Cal dividir cadascuna de les seves components pel seu mòdul, multiplicant-lo pel factor invers de la seva longitud. 18. El seu producte escalar ha de ser zero (perpendiculars) i el mòdul de cadascun ha de ser exactament 1 (unitaris). 19. La condició és que el seu producte escalar sigui nul: . 20. Es calcula el seu mòdul, se'n troba l'invers ( ) i es multiplica aquest escalar pel vector original. 21. b) Quan v · w = 0.

La definició d'ortogonalitat exigeix que el producte escalar entre ells sigui exactament zero. 22. b) Ambdós han de tenir mòdul 1. A més de perpendiculars, els vectors ortonormals han de tenir norma unitària (""v"" = ""w"" = 1). det(A x Id) = 0 (A λ Id) = 0 C D v w = 0 1/m dul o ˋ Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 10 23. b) Multiplicant per la inversa del mòdul. Per normalitzar es multiplica el vector per l'invers del seu mòdul (1/mòdul). 24. d) Són perpendiculars. L'ortogonalitat en l'espai real representa geomètricament la perpendicularitat. Diagonalització de matrius i ortogonalitat - Matemàtiques I 11