Problemes d'Espais Vectorials

Exercici 1. Operacions internes

Indiqueu de forma justificada si cadascuna de les operacions següents constitueix una operació interna en el conjunt indicat:

a.

La suma usual de nombres pertanyents a $\mathbb{N}$.

b.

La multiplicació usual dins del conjunt $\mathbb{Z}$.

c.

La resta usual de valors del conjunt $\mathbb{N}$.

d.

La divisió usual entre elements del conjunt $\mathbb{Z}$.

Tenint en compte els vectors de l'espai vectorial $\mathbb{R}^3$ següents:

$$\vec{u} = (1, 1, 3), \quad \vec{v} = (2, -5, 1), \quad \vec{w} = (0, 2, -3)$$

Efectueu els càlculs següents:

a.

b.

c.

d.

Exercici 3. Combinació lineal de dos vectors

Esbrineu si és possible expressar el vector $\vec{u} = (2, -1, 4)$ en forma de combinació lineal dels vectors $\vec{v} = (2, 2, 1)$ i $\vec{w} = (5, 3, 2)$.

Exercici 4. Combinació lineal de tres vectors

Comproveu si el vector $\vec{u} = (1, -1, 3)$ es pot expressar com a combinació lineal dels vectors $\vec{u}_1 = (2, -1, 0)$, $\vec{u}_2 = (3, 1, 1)$ i $\vec{u}_3 = (0, -1, 1)$.

Exercici 5. Combinació lineal de quatre vectors

Determineu si el vector $\vec{u} = (4, 2, 3)$ es pot obtenir mitjançant una combinació lineal dels vectors:

$$\vec{u}_1 = (1, 1, 1), \quad \vec{u}_2 = (3, 2, -1), \quad \vec{u}_3 = (4, 3, 0), \quad \vec{u}_4 = (7, 5, -1)$$

Sí

No

Exercici 6. Paràmetre per a combinació lineal

Trobeu el valor del paràmetre $k$ per tal que el vector $\vec{u} = (k, 2, 1)$ sigui una combinació lineal de $\vec{u}_1 = (5, 2, 0)$ i $\vec{u}_2 = (3, 0, 1)$.

Exercici 7. Paràmetre k en combinació lineal

Indiqueu quins valors ha de prendre el paràmetre $k$ perquè el vector $\vec{u} = (4, 2, -5)$ es pugui expressar com a combinació lineal dels vectors:$$\vec{u}_1 = (1, 0, 1),\quad \vec{u}_2 = (0, 1, k),\quad \vec{u}_3 = (k, 2, k)$$

Exercici 8. Dependència lineal de tres vectors

Analitzeu la dependència o independència lineal del conjunt de vectors següent:

$$\vec{u}_1 = (5, 6, 2), \quad \vec{u}_2 = (2, 3, 5), \quad \vec{u}_3 = (3, 2, -1)$$

Exercici 9. Independència lineal de quatre vectors amb paràmetre

Esbrineu per a quins valors del paràmetre $k$ el conjunt de vectors següents és linealment independent a l'espai $\mathbb{R}^3$:$$\vec{u}_1 = (3, 5, 1),\quad \vec{u}_2 = (k, 4, 7),\quad \vec{u}_3 = (2, -k, 0),\quad \vec{u}_4 = (k, k, 3)$$

Exercici 10. Veracitat sobre independència lineal

Suposant que els vectors $\vec{u}_1$ i $\vec{u}_2$ són linealment independents, determineu raonadament si les següents afirmacions són sempre veritables:

a.

Els vectors $\vec{w}_1$ i $\vec{w}_2$ definits per $\vec{w}_1 = \vec{u}_1 + \vec{u}_2$ i $\vec{w}_2 = \vec{u}_1 - \vec{u}_2$ són sempre linealment independents.

b.

Els vectors $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ i $\vec{w}_3$ definits per $\vec{w}_1 = \vec{u}_1$, $\vec{w}_2 = \vec{u}_1 + \vec{u}_2$ i $\vec{w}_3 = \vec{u}_1 - \vec{u}_2$ són sempre linealment independents.

Exercici 11. Afirmacions sobre bases i generadors

Indiqueu i justifiqueu si les següents afirmacions són sempre vertaderes:

a.

A l'espai vectorial $\mathbb{R}^3$ no pot haver-hi conjunts de més de tres vectors que siguin independents.

b.

A l'espai vectorial $\mathbb{R}^4$, tot conjunt format per 4 vectors és una base de $\mathbb{R}^4$.

c.

A l'espai vectorial $\mathbb{R}^4$, qualsevol conjunt que contingui menys de 4 vectors és linealment independent.

d.

A l'espai vectorial $\mathbb{R}^4$, qualsevol conjunt que contingui més de 4 vectors és un sistema de generadors de $\mathbb{R}^4$.

Exercici 12. Sistema de generadors a R3

Comproveu si els vectors $\vec{u}_1 = (2, 3, 1)$, $\vec{u}_2 = (5, 4, 2)$ i $\vec{u}_3 = (5, 0, 1)$ constitueixen un sistema de generadors de $\mathbb{R}^3$.

Sí

No

Exercici 13. Sistema de generadors i dependència lineal amb paràmetre

Es consideren els vectors següents de $\mathbb{R}^3$:$$\vec{u}_1 = (-2, 3, 2), \quad \vec{u}_2 = (a + 2, 0, 3), \quad \vec{u}_3 = (5, 3, a)$$

a)

Quins valors ha de tenir el paràmetre $a$ perquè aquests vectors generin l'espai vectorial $\mathbb{R}^3$?

b)

Quins valors ha de prendre $a$ perquè els tres vectors siguin linealment independents?

Exercici 14. Paràmetre per formar una base de R3

Determineu quins valors ha de tenir el paràmetre $a$ perquè els vectors:$$\vec{u}_1 = (a, 0, a), \quad \vec{u}_2 = (1, 1, 1), \quad \vec{u}_3 = (2, 5, a)$$constitueixin una base de $\mathbb{R}^3$.

Exercici 15. Base i components d'un vector

A partir dels següents vectors de $\mathbb{R}^3$:$$\vec{u}_1 = (-1, 2, 3), \quad \vec{u}_2 = (0, 2, 2), \quad \vec{u}_3 = (5, -2, -3)$$

a)

Verifiqueu que formen una base de $\mathbb{R}^3$.

Sí

No

b)

Calculeu les coordenades o components del vector $\vec{u} = (4, 2, 2)$ en la base $\mathcal{B} = \{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\}$.

Exercici 16. Base de R3 i càlcul de components

Considerant els vectors de $\mathbb{R}^3$:

$$\vec{u}_1 = (0, 1, 4), \quad \vec{u}_2 = (2, 1, 0), \quad \vec{u}_3 = (7, -1, 2)$$

a.

Comproveu que constitueixen una base de $\mathbb{R}^3$ calculant el determinant de la matriu que formen:

b.

Calculeu els components del vector $\vec{u} = (-5, 2, -2)$ en dita base $\mathcal{B} = \{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\}$ tals que $\vec{u} = \lambda_1 \vec{u}_1 + \lambda_2 \vec{u}_2 + \lambda_3 \vec{u}_3$:

$\lambda_1 =$

$\lambda_2 =$

$\lambda_3 =$

Exercici 17. Multiplicació d'elements d'una base i components

Suposeu que el conjunt $\mathcal{B} = \{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\}$ és una base de $\mathbb{R}^3$.

a.

Comproveu que la terna de vectors $\vec{w}_1 = \vec{u}_1$, $\vec{w}_2 = 2\vec{u}_2$ i $\vec{w}_3 = 3\vec{u}_3$ també forma una base de $\mathbb{R}^3$.

b.

Si les coordenades d'un vector respecte a la base $\mathcal{B}$ són $(5, 8, 27)$, quines seran les seves coordenades respecte de la base $\mathcal{B}' = \{\vec{w}_1, \vec{w}_2, \vec{w}_3\}$?

$\lambda_1 =$

$\lambda_2 =$

$\lambda_3 =$

Exercici 18. Subespai vectorial a R2

Raoneu detalladament si el conjunt $S$ definit com a:

$$S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 7y\}$$

és un subespai vectorial de $\mathbb{R}^2$.

Sí

No

Exercici 19. Condició de subespai a R3 amb pla afí

Raoneu si el conjunt següent és un subespai vectorial de $\mathbb{R}^3$:

$$S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y,\ z = 1\}$$

Sí

No

Exercici 20. Condició de subespai amb terme no lineal

Raoneu si el conjunt $S$ és un subespai vectorial de l'espai $\mathbb{R}^3$:

$$S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0,\ 2xy = 0\}$$

Sí

No

Exercici 21. Base i dimensió d'un subespai a R3

Calculeu una base i la dimensió del subespai vectorial $V \subset \mathbb{R}^3$ definit per:

$$V = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y = 0,\ x + z = 0\}$$

a)

b)

Exercici 22. Base i dimensió d'una intersecció de plans

Determineu una base i la dimensió del subespai vectorial $V \subset \mathbb{R}^3$ definit per:$$V = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x + y - z = 0,\, x + y + z = 0\}$$

a)

b)

Exercici 23. Demostració de la intersecció de subespais

Siguin $S$ i $V$ dos subespais vectorials d'un mateix espai vectorial $E$. Demostreu raonadament que la seva intersecció $S \cap V$ és també un subespai vectorial de $E$.

Nota: Recordeu que la intersecció $S \cap V$ està formada pels vectors que pertanyen simultàniament a $S$ i a $V$.

a)

b)

c)

Exercici 24. Certesa o falsedat sobre el vector zero i subespais

Determineu raonadament si cadascuna de les següents afirmacions és certa o falsa:

a. Qualsevol conjunt de vectors en el qual figuri el vector nul $\vec{0}$ és linealment dependent.

b. Tot subconjunt de $\mathbb{R}^n$ que no contingui el vector nul $\vec{0}$ no pot ser un subespai vectorial de $\mathbb{R}^n$.

c. Per tal que un subconjunt de $\mathbb{R}^n$ sigui un subespai vectorial, és indispensable que contingui el vector $\vec{0}$.

d. Un conjunt de vectors en què figuri el vector $\vec{0}$ no pot ser mai un sistema de generadors d'un subespai vectorial.

Exercici 25. Certesa o falsedat sobre dimensió, bases i generadors

Indiqueu i justifiqueu la certesa o la falsedat de les següents afirmacions:

a.

En un espai vectorial de dimensió $n$, totes les bases tenen exactament $n$ vectors.

b.

En un espai vectorial de dimensió $n$, qualsevol conjunt de vectors linealment independents té exactament $n$ vectors.

c.

En un espai vectorial de dimensió $n$, cap sistema de generadors pot tenir més de $n$ vectors.

d.

En un espai vectorial de dimensió $n$, no és possible que hi hagi conjunts de menys de $n$ vectors que siguin linealment independents.