Problemes de funcions reals d'una variable

Problema 1. Càlcul del domini de funcions reals

Trobeu el domini de definició de cadascuna de les funcions següents:

a)

$f(x) = x^2 - 1$

b)

$f(x) = \dfrac{x^3 - x}{x}$

c)

$f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + x + 1}$

d)

$f(x) = \tan x$

e)

$f(x) = \sqrt{1 - \sqrt{1 - x^2}}$

f)

$f(x) = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x - 2}$

g)

$f(x) = \ln\left(\dfrac{1 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\right)$

h)

$$f(x) = \begin{cases} e^{1/x} & \text{si } x < 0 \\ \ln x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

i)

$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$

j)

$f(x) = e^{x - \ln x}$

k)

$f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2 - 1}\right)$

l)

$f(x) = \sqrt{\cos x}$

m)

$f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 1}{x - 1}}$

Problema 2. Composició i expressió algebraica de funcions

Es consideren les funcions reals $f(x) = x^2$, $g(x) = 2^x$ i $h(x) = \ln x$.

a)

Determineu la funció composta $(f \circ g)(x)$.

b)

Determineu la funció composta $(f \circ h)(x)$.

c)

Determineu la funció composta $(f \circ g \circ h)(x)$.

d)

Expresseu cadascuna de les funcions següents a partir de $f$, $g$ i $h$ fent servir les operacions de suma, producte i composició de funcions:

A partir de la corba fonamental de la funció $f(x) = x^3$, descriviu i representeu com varia la seva gràfica en cadascuna de les transformacions següents per als valors del paràmetre $c = -2$, $c = 0$ i $c = 5$:

a)

$g(x) = f(x) + c$

b)

$g(x) = f(x + c)$

c)

$g(x) = c \cdot f(x)$

d)

$g(x) = \frac{1}{f(x)}$

e)

$g(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)$

f)

$g(x) = f(|x|)$

g)

$g(x) = |f(x)|$

h)

$g(x) = \max\{f(x), 0\}$

i)

$g(x) = \min\{f(x), 0\}$

Podeu adjuntar una fotografia dels vostres esbossos o representacions gràfiques:

Efectueu el mateix estudi analític i descriptiu de transformacions que al problema anterior per a cadascuna de les funcions següents:

a)

$f(x) = e^x$

b)

$f(x) = \ln x$

c)

$f(x) = e^{-x}$

A partir de les seves propietats analítiques essencials (pendent, vèrtex, concavitat, asímptotes o talls amb els eixos), feu un esbós gràfic de cadascuna de les funcions següents emprant el mínim nombre de càlculs possible:

a)

$f(x) = 5x + 7$

b)

$f(x) = -7x - 1$

c)

$f(x) = 3x^4$

d)

$f(x) = x^2 - 8$

e)

$f(x) = \ln x$

f)

$f(x) = e^x$

g)

$f(x) = \frac{1}{x}$

h)

$f(x) = -\frac{1}{x^2}$

i)

$f(x) = \sqrt{x}$

En un estudi empíric de l'economia dels Estats Units durant el període comprès entre 1929 i 1941, es va observar que la despesa total en béns de consum i serveis, $C$, mantenia una relació directa amb la renda nacional, $Y$, satisfent les condicions següents:

Quan la renda és de $Y = 500$ unitats, la despesa en consum se situa en $C = 470$ unitats.

Cada vegada que la renda nacional s'incrementa en $100$ unitats, el consum augmenta regularment en $75$ unitats.

Assumint una dependència funcional lineal entre ambdues magnituds:

a)

Deduïu la funció lineal que relaciona la despesa en consum $C$ en funció de la renda $Y$.

b)

Calculeu quin serà el consum agregat esperat quan la renda nacional assoleixi un valor de $Y = 1000$ unitats.

unitats