Pràctica 1. Espai vectorial

Esbrineu si el vector $(2, 1, 2)$ es pot expressar com a combinació lineal dels vectors del conjunt següent:$$\{(1, 2, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 3)\}$$

Es pot expressar com a combinació lineal?

Sí

No

Determineu si existeix algun valor del paràmetre $k$ pel qual el vector $\vec{u}$ sigui combinació lineal dels vectors $\vec{v}$ i $\vec{w}$ en cadascun dels casos:

a)

$\vec{u} = (2, k, 1)$, $\vec{v} = (1, 3, 2)$ i $\vec{w} = (k, 1, 1)$. Existeix algun valor real de $k$?

Sí

No

b)

$\vec{u} = (-1, 4, 4)$, $\vec{v} = (2, 4, 10)$ i $\vec{w} = (3k, 0, 6)$. Existeix algun valor real de $k$?

Sí

No

Activitat 3. Condició sobre paràmetre per ser combinació lineal

Trobeu per a quins valors del paràmetre $a$ el vector $(2, 1, a)$ es pot expressar com a combinació lineal dels vectors del conjunt:

$$\{(1, 1, 1), (1, a, 3), (a, 1, 1)\}$$

Disposem d'un conjunt de tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$, dels quals es coneix $\vec{u} = (2, 2, 1)$ i $\vec{v} = (0, 2, 3)$, mentre que $\vec{w}$ és desconegut. Considerem també el vector $\vec{t} = (5, 4, 2)$.

a)

Proposeu un possible vector $\vec{w}$ de manera que $\vec{t}$ sigui combinació lineal de $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$.

b)

Proposeu un possible vector $\vec{w}$ de manera que $\vec{t}$ no sigui combinació lineal de $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$.

Analitzeu la dependència o independència lineal dels vectors $\vec{u} = (2, 0, 1, 3)$ i $\vec{v} = (3, 5, 5, 4)$ de $\mathbb{R}^4$. A continuació, determineu si existeix algun valor del paràmetre $k$ pel qual el vector $(k, 5, k, 10)$ sigui combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

Activitat 6. Demostració de base i càlcul de coordenades

Comproveu que els vectors $\vec{u} = (2, 1, 0)$, $\vec{v} = (3, 1, 1)$ i $\vec{w} = (1, 3, 0)$ formen una base de $\mathbb{R}^3$. Calculeu tot seguit les coordenades (components) del vector $(7, 8, 2)$ respecte de la base $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$.

1.

2.

$x =$ $y =$ $z =$

Activitat 7. Comprovació de base i components d'un vector

A partir del conjunt de vectors $\{(2, 1, 1), (1, 0, 1), (3, 0, -2)\}$, verifiqueu que constitueixen una base de l'espai $\mathbb{R}^3$ i determineu els components del vector $(5, 2, -1)$ en aquesta base.

1.

2.

$x =$ $y =$ $z =$