Pràctica 3. Topologia i funcions de vàries variables

Feu la representació gràfica i el corresponent estudi topològic per a cadascun dels següents conjunts de $\mathbb{R}^2$:

a)

$A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y \leq 2,\; x^2 - y \leq 1\}$

Feu la representació gràfica de la regió:

b)

$A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq x^2 - 4,\; x^2 + (y + 2)^2 < 4\}$

Feu la representació gràfica de la regió:

c)

$A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid e^{x - y} \leq 1\}$

Feu la representació gràfica de la regió:

Determineu el domini de definició, feu-ne la representació gràfica i el corresponent estudi topològic per a cadascuna de les funcions següents:

a)

$f(x, y) = \dfrac{x + 2y}{x - y + 4}$

Feu la representació gràfica del domini:

b)

$f(x, y) = \sqrt{x - y + 1} + \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$

Feu la representació gràfica del domini:

c)

$f(x, y) = \ln(xy - 1)$

Feu la representació gràfica del domini:

Exercici 3. Representació de corbes de nivell

Classifiqueu i representeu gràficament (en els casos en què existeixin) les corbes de nivell associades als valors $k = -1$, $k = 1$ i $k = 2$ per a les funcions següents:

a)

$$f(x, y) = \frac{4x + y}{3x}$$

b)

$$f(x, y) = 2x^2 + 2y^2$$

Determineu i descriviu el tipus de figures geomètriques que formen les corbes de nivell de les funcions següents:

a)

$$f(x, y) = \frac{x^2 - 2y}{2x}$$

b)

$$f(x, y) = \sqrt[3]{xy}$$

Esbrineu a quina corba de nivell pertany el punt $(-1, 2)$ en cadascuna de les funcions:

a)

$$f(x, y) = x + 3y^3 - 4xy$$

b)

$$f(x, y) = (x^2 + 5y)^2$$

Trobeu el vector gradient $\nabla f(x, y)$ per a les següents funcions:

a)

$$f(x, y) = 3x^2y^3 + 2x - y + 1$$

$\nabla f(x, y) = \Big($ $,$ $\Big)$

b)

$$f(x, y) = \frac{x + y}{x - 3y}$$

$\nabla f(x, y) = \Bigg($ $,$ $\Bigg)$

Calculeu les derivades parcials primeres respecte a cadascuna de les variables independents de les funcions següents:

a)

$$f(x, y) = (2x + 3y)^7$$

b)

$$f(x, y) = \sqrt{x - 3y}$$

c)

$$f(x, y) = \frac{x}{y} + \frac{2}{x} - \frac{3}{y}$$

d)

$$f(x, y) = 3e^{x^2y}$$

e)

$$f(x, y) = \ln(2x - 9y + 8)$$

f)

$$f(x, y) = 3x^2\ln(xy)$$

g)

$$f(x, y) = \frac{(5x - 7y)(x + y)}{x}$$

h)

$$f(x, y) = \sqrt[3]{x^2y}$$

i)

$$f(x, y) = \sin(x + y)$$

j)

$$f(x, y) = \frac{\sin(x)}{\cos(y)}$$

Exercici 8. Derivades parcials de tres variables

Calculeu totes les derivades parcials de primer ordre per a la funció de tres variables:

$$f(x, y, z) = x e^{x+y} + y z^3$$

Exercici 9. Creixement respecte a x en un punt

Determineu si la funció $f(x, y) = e^{xy}\ln(x)$ és creixent o decreixent respecte a la variable $x$ en el punt $(1, 1)$.

a)

b)

Exercici 10. Creixement respecte a y en un punt

Determineu si la funció $f(x, y) = \dfrac{\sin(y)}{xy} + \sqrt{x} + 2$ és creixent o decreixent respecte a la variable $y$ en el punt $(1, \pi)$.

a)

b)