Ejercicio Problem 1 · Matemàtiques URV 2021

Enunciado

Consider the two-variable function:

$f(x, y) = \frac{y^3}{3} - \frac{xy^2}{2} + \frac{2x^3}{9} - \frac{x}{6}$

Compute all first-order and second-order partial derivatives of $f(x, y)$ .

Find all the critical points of $f$ and classify each of them as a local maximum, local minimum, or saddle point using the Hessian matrix.

Critical point $(x, y)$

Classification

$(-1/2, 0)$

$(1/2, 0)$

$(-1, -1)$

$(1, 1)$

Enunciado: Ejercicio Problem 1 · Matemàtiques URV 2021

Según los criterios oficiales de corrección

a) First-order partial derivative ∂f/∂x

Solución: $-\frac{y^2}{2} + \frac{2x^2}{3} - \frac{1}{6}$

a) First-order partial derivative ∂f/∂y

Solución: $y^2 - xy$

a) Second-order partial derivative ∂²f/∂x²

Solución: $\frac{4x}{3}$

a) Second-order partial derivative ∂²f/∂y²

Solución: $2y - x$

a) Second-order mixed partial derivative ∂²f/∂x∂y

Solución: $-y$

b) Classification of critical points using the Hessian matrix

Solución: CP1(-1/2, 0): saddle point; CP2(1/2, 0): saddle point; CP3(-1, -1): local maximum; CP4(1, 1): local minimum

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