Ejercicio 4 (Álgebra) - Aplicación lineal · Matemáticas Aplicadas URL Exámenes resueltos de Matemáticas Aplicadas

Tema: Álgebra lineal: matrices, sistemas, subespacios y aplicaciones lineales · Del examen Exámenes resueltos de Matemáticas Aplicadas

Enunciado

Se considera la aplicación lineal f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definida por:

f(a,b,c)=(a−b,b−c,a−c)f(a, b, c) = (a - b, b - c, a - c)

tomando coordenadas referidas a la base canónica.

a.

[0,5 puntos] Escribe la matriz de ff asociada a la base canónica.

b.

[1 punto] Determina una base de la imagen Im⁡(f)\operatorname{Im}(f) y una base del núcleo ker⁡(f)\ker(f) en la base canónica.

c.

[1,5 puntos] Halla la matriz de ff respecto de la base A={(−1,1,1),(1,1,1),(1,1,0)}A = \{(-1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)\}, utilizada tanto como base del espacio de salida como del de llegada.

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. [0,5 puntos] Escribe la matriz de ff asociada a la base canónica.

Solución: MC(f)=(1−1001−110−1)M_C(f) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

b. [1 punto] Determina una base de la imagen Im⁡(f)\operatorname{Im}(f) y una base del núcleo ker⁡(f)\ker(f) en la base canónica.

Solución: BIm⁡(f)={(1,0,1),(−1,1,0)},Bker⁡(f)={(1,1,1)}B_{\operatorname{Im}(f)} = \{(1,0,1), (-1,1,0)\}, \quad B_{\ker(f)} = \{(1,1,1)\}

c. [1,5 puntos] Halla la matriz de ff respecto de la base A={(−1,1,1),(1,1,1),(1,1,0)}A = \{(-1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)\}, utilizada tanto como base del espacio de salida como del de llegada.

Solución: MA(f)=(100,5−300,5200)M_A(f) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0{,}5 \\ -3 & 0 & 0{,}5 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}

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