Examen de Matemáticas Financieras UPC 2017 · Càlcul - Convocatòria de Recuperació (Juliol 2017)

Problema 1 (1,5 punts). Forma binòmica i mòdul-argument d'una operació complexa

Efectueu el càlcul de l'expressió següent expressant el resultat final tant en forma binòmica com en forma polar (mòdul-argument):

$$\frac{i^{521}}{(1 - i)^5}$$

a)

b)

Mòdul $r$:

Argument principal $\theta$ (en radis, ex. $-\pi/4$ o $7\pi/4$):

Problema 2 [2 punts]

Calculeu el valor del límit següent:$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1 + 1^6} + \sqrt{1 + 2^6} + \sqrt{1 + 3^6} + \cdots + \sqrt{1 + n^6}}{n^4}$$

Problema 3 (2,5 punts). Continuïtat i derivabilitat d'una funció a trossos

Es considera la funció definida a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{si } x \le 1 \\ -x^2 + x + b & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a.

Determineu la relació que han de satisfer els paràmetres reals $a$ i $b$ per tal que la funció sigui contínua en $x = 1$.

$b =$

b.

Emprant la definició de derivada com a límit, calculeu la derivada lateral per l'esquerra en aquest punt, $f'(1^-)$.

$f'(1^-) =$

c.

Calculeu els valors de $a$ i $b$ que fan que $f(x)$ sigui derivable en $x = 1$. Heu d'utilitzar la definició de derivada per obtenir $f'(1^+)$.

$f'(1^+) =$

$a =$

$b =$

Problema 4 (2,5 punts). Polinomi de Taylor i acotació de l'error

a)

Trobeu el polinomi de Taylor d'ordre 1 de la funció $f(x) = \arccos(x)$ centrat en el punt $a = 0$.

b)

Mitjançant el polinomi trobat, doneu un valor aproximat per a $\arccos(0{,}6)$ i determineu una fita superior per a l'error comès en l'aproximació.

Problema 5 (1,5 punts). Optimització de la collita d'una plantació

Una explotació agrícola compta actualment amb 25 arbres, cadascun dels quals genera 600 fruits anuals. Es calcula que, a causa de la competència pel terreny, per cada arbre suplementari que es planti, la producció unitària de tots els arbres minva en 15 fruits. Es demana:

a)

Determineu la funció que modelitza la producció total de fruits segons el nombre $x$ d'arbres suplementaris plantats.

b)

Quin nombre d'arbres addicionals s'ha de plantar per tal de fer màxima la collita total? Quants fruits es recolliran en aquesta situació òptima?