Pregunta 1 · Estructura de Computadors I UDL 2017

Tema: Àlgebra de Boole, simplificació i disseny amb portes · Del examen Examen Parcial - Novembre 2017 (2017)

Enunciado

Pregunta 1. Àlgebra de commutació i propietat associativa

a)

Demostreu mitjançant les lleis i postulats de l'àlgebra de commutació les dues identitats següents:

a⊕b=aˉ⊕bˉa \oplus b = \bar{a} \oplus \bar{b}

a(b⊕c)=ab⊕aca(b \oplus c) = ab \oplus ac

b)

Verifiqueu la propietat associativa per a la funció XOR, és a dir, comproveu que (x⊕y)⊕z=x⊕(y⊕z)(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z), i analitzeu la propietat equivalent per a la funció XNOR utilitzant una taula de veritat completa per a les 3 variables d'entrada:

xx

yy

zz

x⊕yx \oplus y

(x⊕y)⊕z(x \oplus y) \oplus z

y⊕zy \oplus z

x⊕(y⊕z)x \oplus (y \oplus z)

x⊕y‾\overline{x \oplus y}

(x⊕y‾)⊙z(\overline{x \oplus y}) \odot z

Enunciado: Pregunta 1 · Estructura de Computadors I UDL 2017

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Demostreu mitjançant les lleis i postulats de l'àlgebra de commutació la identitat: a ⊕ b = ā ⊕ b̄

Solución: aˉ⊕bˉ=aˉ⋅(bˉ)‾+(aˉ)‾⋅bˉ=aˉb+abˉ=abˉ+aˉb=a⊕b\bar{a} \oplus \bar{b} = \bar{a} \cdot \overline{(\bar{b})} + \overline{(\bar{a})} \cdot \bar{b} = \bar{a}b + a\bar{b} = a\bar{b} + \bar{a}b = a \oplus b

a. Demostreu mitjançant les lleis i postulats de l'àlgebra de commutació la identitat: a(b ⊕ c) = ab ⊕ ac

Solución: ab⊕ac=(ab)(ac)‾+(ab)‾(ac)=ab(aˉ+cˉ)+(aˉ+bˉ)ac=abcˉ+bˉac=a(bcˉ+bˉc)=a(b⊕c)ab \oplus ac = (ab)\overline{(ac)} + \overline{(ab)}(ac) = ab(\bar{a} + \bar{c}) + (\bar{a} + \bar{b})ac = ab\bar{c} + \bar{b}ac = a(b\bar{c} + \bar{b}c) = a(b \oplus c)

b. Fila 1 (x=0, y=0, z=0): x ⊕ y

Solución: 0

b. Fila 1 (x=0, y=0, z=0): (x ⊕ y) ⊕ z

Solución: 0

b. Fila 1 (x=0, y=0, z=0): y ⊕ z

Solución: 0

b. Fila 1 (x=0, y=0, z=0): x ⊕ (y ⊕ z)

Solución: 0

b. Fila 1 (x=0, y=0, z=0): ¬(x ⊕ y)

Solución: 1

b. Fila 1 (x=0, y=0, z=0): (¬(x ⊕ y)) ⊙ z

Solución: 0

b. Fila 2 (x=0, y=0, z=1): x ⊕ y

Solución: 0

b. Fila 2 (x=0, y=0, z=1): (x ⊕ y) ⊕ z

Solución: 1

b. Fila 2 (x=0, y=0, z=1): y ⊕ z

Solución: 1

b. Fila 2 (x=0, y=0, z=1): x ⊕ (y ⊕ z)

Solución: 1

b. Fila 2 (x=0, y=0, z=1): ¬(x ⊕ y)

Solución: 1

b. Fila 2 (x=0, y=0, z=1): (¬(x ⊕ y)) ⊙ z

Solución: 1

b. Fila 3 (x=0, y=1, z=0): x ⊕ y

Solución: 1

b. Fila 3 (x=0, y=1, z=0): (x ⊕ y) ⊕ z

Solución: 1

b. Fila 3 (x=0, y=1, z=0): y ⊕ z

Solución: 1

b. Fila 3 (x=0, y=1, z=0): x ⊕ (y ⊕ z)

Solución: 1

b. Fila 3 (x=0, y=1, z=0): ¬(x ⊕ y)

Solución: 0

b. Fila 3 (x=0, y=1, z=0): (¬(x ⊕ y)) ⊙ z

Solución: 1

b. Fila 4 (x=0, y=1, z=1): x ⊕ y

Solución: 1

b. Fila 4 (x=0, y=1, z=1): (x ⊕ y) ⊕ z

Solución: 0

b. Fila 4 (x=0, y=1, z=1): y ⊕ z

Solución: 0

b. Fila 4 (x=0, y=1, z=1): x ⊕ (y ⊕ z)

Solución: 0

b. Fila 4 (x=0, y=1, z=1): ¬(x ⊕ y)

Solución: 0

b. Fila 4 (x=0, y=1, z=1): (¬(x ⊕ y)) ⊙ z

Solución: 0

b. Fila 5 (x=1, y=0, z=0): x ⊕ y

Solución: 1

b. Fila 5 (x=1, y=0, z=0): (x ⊕ y) ⊕ z

Solución: 1

b. Fila 5 (x=1, y=0, z=0): y ⊕ z

Solución: 0

b. Fila 5 (x=1, y=0, z=0): x ⊕ (y ⊕ z)

Solución: 1

b. Fila 5 (x=1, y=0, z=0): ¬(x ⊕ y)

Solución: 0

b. Fila 5 (x=1, y=0, z=0): (¬(x ⊕ y)) ⊙ z

Solución: 1

b. Fila 6 (x=1, y=0, z=1): x ⊕ y

Solución: 1

b. Fila 6 (x=1, y=0, z=1): (x ⊕ y) ⊕ z

Solución: 0

b. Fila 6 (x=1, y=0, z=1): y ⊕ z

Solución: 1

b. Fila 6 (x=1, y=0, z=1): x ⊕ (y ⊕ z)

Solución: 0

b. Fila 6 (x=1, y=0, z=1): ¬(x ⊕ y)

Solución: 0

b. Fila 6 (x=1, y=0, z=1): (¬(x ⊕ y)) ⊙ z

Solución: 0

b. Fila 7 (x=1, y=1, z=0): x ⊕ y

Solución: 0

b. Fila 7 (x=1, y=1, z=0): (x ⊕ y) ⊕ z

Solución: 0

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