Examen de Estadística I UAB 2013 · Juny

Pregunta 1 (2,5 punts). Distribució bidimensional de freqüències i independència

A la següent taula es mostren les freqüències relatives observades en una mostra de 120 alumnes d'una autoescola pel que fa al nombre d'hores setmanals dedicades a classes teòriques (variable $X$) i a classes pràctiques (variable $Y$):

$X \backslash Y$

0

1

2

1

$1/12$

$1/12$

$2/12$

2

$1/12$

$3/12$

$4/12$

a.

Trobeu les distribucions marginals (freqüències relatives i absolutes) de les dues variables. [0,5 punts]

$X \backslash Y$

0

1

2

$f_X$

$n_X$

1

$1/12$

$1/12$

$2/12$

2

$1/12$

$3/12$

$4/12$

$f_Y$

1

—

$n_Y$

—

120

b.

Calculeu la mitjana d'hores dedicades a classes teòriques a la setmana i la mitjana d'hores dedicades a classes pràctiques. [0,5 punts]

hores

hores

c.

Tenint en compte que cada hora de classe teòrica té un preu de 15 euros i cada hora de classe pràctica costa 30 euros, determineu el cost mitjà setmanal per alumne. [0,5 punts]

euros

d.

Considerant únicament els alumnes que han assistit a dues hores de classe teòrica, quina proporció percentual ha fet també dues hores de pràctiques? [0,5 punts]

%

e.

Determineu si les variables $X$ i $Y$ són estadísticament independents, justificant el procediment. [0,5 punts]

Pregunta 2 (2,5 punts). Probabilitat condicionada i teorema de la probabilitat total

Un inversor compra accions de l'empresa A. Se sap que la fluctuació d'aquest valor està molt vinculada a la de l'índex IBEX35: si l'IBEX35 puja, la probabilitat que les accions de la companyia A també ho facin és de 0,85. D'altra banda, si la cotització de la companyia A puja, la probabilitat que l'IBEX35 hagi pujat és de 0,6.

a)

Suposant que la probabilitat que l'IBEX35 pugi un dia determinat és del 50%, quina és la probabilitat que pugi el valor de l'empresa A aquest mateix dia? [1,25 punts]

b)

Suposeu que la cartera de l'inversor està integrada per un 60% d'accions de la companyia A i un 40% de la companyia B. La probabilitat que la companyia B pugi és de 0,65. Si s'escull una acció a l'atzar d'aquesta cartera, quina és la probabilitat que pugi de preu? [1,25 punts]

Pregunta 3 (2,5 punts). Models de distribució de Poisson i Binomial

D'acord amb un estudi realitzat per una agrupació de consumidors, els ascensors d'una marca i model concrets registren una mitjana de 2 avaries mensuals cadascun.

a)

Identifiqueu la distribució de probabilitat que descriu la variable aleatòria $X$ (nombre mensual d'avaries en un d'aquests ascensors) i escriviu la seva funció de probabilitat. [0,5 punts]

b)

Quina probabilitat hi ha que un ascensor pateixi alguna avaria al llarg d'un mes? [1 punt]

c)

Un immoble d'oficines compta amb 3 ascensors del model esmentat. Quina és la probabilitat que cap d'ells pateixi cap avaria durant un mes determinat? [1 punt]

Pregunta 4 (2,5 punts). Distribució Normal del consum d'aigua

El consum d'aigua per persona i dia (en litres, lpd) als habitatges d'un bloc de pisos segueix una distribució Normal. Se sap que el 50% dels pisos presenta un consum per sobre de 120 lpd i que el 20% gasta per sota de 79,85 lpd.

a)

Determineu el consum mitjà i la desviació típica del consum d'aigua en aquests habitatges. [1 punt]

b)

Quin percentatge d'habitatges consumeix menys de 167,8 lpd? [0,5 punts]

c)

Els habitatges que integren el grup del 10% que consumeix més aigua reben una comunicació oficial per col·locar reductors de cabal. Quin és el consum mínim a partir del qual es rep aquest avís? [1 punt]