Exercício 6 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2023

Tema: Taxa de variação e interpretação de gráficos · Do exame 2.ª fase (2023)

Enunciado

6. Na quinta do Sr. Ferreira, existe um depósito de água para rega. Considere que para se encher o depósito, que estava inicialmente vazio, se usou uma torneira com caudal constante.

Seja ff a função que dá a altura, em metros, de água no depósito, tt horas desde o instante em que se começou a encher o depósito, até ao instante em que ficou cheio, durante 66 horas.

Quando o depósito está cheio, a altura de água coincide com a altura do depósito.

Na Figura 4, está representado, em referencial ortogonal e monométrico, o gráfico da função ff.

6.1.

Em que instante a taxa de variação instantânea da função ff tem maior valor:

em t=0,5t = 0{,}5 ou em t=5,5t = 5{,}5 ?

Justifique a sua resposta.

t=0,5t = 0{,}5

t=5,5t = 5{,}5

6.2.

Na Figura 5, estão representados esquemas das formas de dois depósitos, na posição em que são enchidos.

Justifique que nenhum desses depósitos pode ser o existente na quinta do Sr. Ferreira, apresentando uma razão para cada um dos depósitos.

Enunciado: Exercício 6 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2023

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

6.1. Em que instante a taxa de variação instantânea da função f tem maior valor: em t = 0,5 ou em t = 5,5 ?

Resposta: t=5,5t = 5{,}5

6.1. Justifique a sua resposta.

Resposta: A taxa de variação instantânea tem maior valor em t=5,5t = 5{,}5 porque a altura da água estava a aumentar mais rapidamente no instante t=5,5t = 5{,}5 do que no instante t=0,5t = 0{,}5 (o declive da reta tangente em t=5,5t = 5{,}5 é maior do que em t=0,5t = 0{,}5).

6.2. Justifique que o Depósito A não pode ser o existente na quinta do Sr. Ferreira.

Resposta: No depósito A, como a secção se vai alargando, a subida da água seria mais rápida no início e mais lenta no final, ao contrário do que se representa no gráfico de ff.

6.2. Justifique que o Depósito B não pode ser o existente na quinta do Sr. Ferreira.

Resposta: No depósito B, como a secção transversal é constante, a água subiria a uma velocidade constante e o gráfico seria retilíneo, diferentemente do que se representa no gráfico de ff.

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