Exercício 3 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2023
Tema: Sucessões e progressões · Do exame 2.ª fase (2023)
Enunciado
O neto do Sr. Ferreira está a treinar a escrita das letras maiúsculas. Para o ajudar nessa aprendizagem, o Sr. Ferreira desenhou, numa folha, círculos iguais e tangentes, dispostos como a Figura 1 sugere.
A atividade que o neto do Sr. Ferreira deve executar é a seguinte:
começar por escrever a letra A nos dois círculos sombreados na Figura 1;
de seguida, escrever a letra B em todos os círculos tangentes a algum dos dois círculos assinalados com a letra A, como se ilustra na Figura 2;
e assim sucessivamente, seguindo o alfabeto, assinalando, para cada letra, todos os círculos tangentes a, pelo menos, um círculo que esteja assinalado com a letra anterior.
3.1.
Determine quantos círculos serão assinalados com a 15.ª letra do alfabeto.
3.2.
Num certo momento da execução da atividade, o Sr. Ferreira verificou que o neto já tinha assinalado um total de 72 círculos.
Qual foi a letra escrita no 72.º círculo? Justifique a sua resposta.
Resolução
Segundo os critérios oficiais de classificação
3.1. Determine quantos círculos serão assinalados com a 15.ª letra do alfabeto.
Resposta: 30
3.2. Qual foi a letra escrita no 72.º círculo?
Resposta: H
3.2. Justifique a sua resposta.
Resposta: A soma do número de círculos de cada etapa até à etapa n é dada por Sn = n² + n. Para Sn = 72, obtém-se n² + n - 72 = 0, cuja solução positiva é n = 8. Como a 8.ª letra do alfabeto é H, a letra escrita foi H.
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