Exercício 3.1 · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2023

Na aldeia do Sr. Silva, para se conservar as maçãs colhidas nos pomares, é costume guardá-las num local escuro, dispostas sobre uma superfície seca e plana.

As maçãs são dispostas em filas, mas sem ficarem em contacto umas com as outras, pois, caso ficassem em contacto, se uma das maçãs apodrecesse, as maçãs sadias em contacto com a maçã apodrecida também começariam a apodrecer.

O neto do Sr. Silva, que não conhecia bem o método usado pelo avô, dispôs as maçãs em filas, mas deixou-as em contacto umas com as outras, como se ilustra na Figura 1.

Uma dessas maçãs, identificada por A na Figura 2, apodreceu num certo dia.

No dia seguinte, apodreceram as três maçãs identificadas por B na Figura 2, que estavam em contacto com essa maçã. Em cada um dos dias seguintes, apodreceram todas as maçãs sadias que estavam em contacto com, pelo menos, uma maçã que tivesse apodrecido no dia anterior.

Admita que não há outro modo de as maçãs colhidas apodrecerem.

Tal como a Figura 2 sugere, as maçãs apodrecidas dispõem-se em forma triangular. Esta expansão triangular manteve-se durante 12 dias consecutivos.

3.1. Justifique que os números de maçãs que apodrecem, por dia, desde o primeiro até ao décimo segundo, são termos consecutivos de uma progressão aritmética.

Na sua resposta, indique a razão dessa progressão.