Exercício 7.2 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2024

Um artista plástico vai utilizar uma estrutura com três barras de ferro fundido para criar uma instalação artística comemorativa do 25 de Abril de 1974, como se ilustra na Figura 7.

A Figura 8 é um esquema dessa estrutura, representado em referencial ortogonal e monométrico, $Oxyz$.

No referencial, a unidade é o metro.

Sabe-se que:

o plano $xOy$ representa o solo;

$[AB]$, $[CD]$ e $[OM]$ representam as barras de ferro que formam a estrutura;

os pontos $A$ e $B$ pertencem ao eixo $Ox$;

o ponto $C$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;

o ponto $D$ pertence ao plano $yOz$;

os pontos $O$ e $M$ são, respetivamente, os pontos médios de $[AB]$ e $[CD]$;

$[OM] \perp [CD]$;

$\overline{AB} = \overline{CD} = 5\text{ m}$ e $\overline{OM} = 6\text{ m}$.

A altura da estrutura é a distância do ponto representado por $D$ ao solo.

7.2. A estrutura será instalada numa caixa cúbica transparente, com $343\text{ m}^3$ de volume.

Na Figura 9, que não está à escala, encontra-se representada a caixa cúbica, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxyz$, em que:

$P$, $Q$ e $R$ são vértices do cubo;

a aresta $[PR]$ está contida no eixo $Ox$;

a origem do referencial é o ponto médio da aresta $[PR]$;

uma das faces do cubo está contida no plano $xOy$.

No referencial, a unidade é o metro.

Determine as coordenadas do vértice $Q$.

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