Sujet du Bac Mathématiques 2024 · Suède Jour 2

Exercice n°1 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1:

Soit (E) l'équation différentielle: $y' - 2y = -6x + 1$

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{2x} - 6x + 1$ est une solution de l'équation différentielle (E).

Juste

Fausse

Exercice n°1 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 2:

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par

$$u_n = 1 + \frac{3}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \dots + \left(\frac{3}{4}\right)^n$$

La suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$.

Juste

Fausse

Affirmation 3:

On considère la suite $(u_n)$ définie dans l'affirmation 2.

L'instruction suite(50) ci-dessous, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$.

Juste

Fausse

Exercice n°1 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 4:

Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par

$$f(x) = a\ln(x) - 2x$$

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$.

Il existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

Juste

Fausse

Au cours d'une séance, un joueur de volley-ball s'entraîne à faire des services. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0{,}85$.

On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées:

si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant est égale à $0{,}6$;

si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu'il ne réussisse pas le suivant est égale à $0{,}6$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\overline{R_n}$ l'évènement contraire.

Partie A

On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.

1.

Représenter la situation par un arbre pondéré.

2.

Démontrer que la probabilité de l'évènement $R_2$ est égale à $0{,}57$.

3.

Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu'il ait raté le premier.

Partie B

On s'intéresse maintenant au cas général. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$.

1. a.

Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n}(R_{n+1})$ et $P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})$.

1. b.

Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a: $x_{n+1} = 0{,}2x_n + 0{,}4$.

2.

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = x_n - 0{,}5$.

a.

Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.

b.

Déterminer l'expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $(x_n)$.

c.

Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

Au cours d'une séance, un joueur de volley-ball s'entraîne à faire des services. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0{,}85$.

On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées:

si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant est égale à $0{,}6$;

si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu'il ne réussisse pas le suivant est égale à $0{,}6$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\overline{R_n}$ l'évènement contraire.

Partie A (suite)

Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.

a.

Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l'arbre pondéré de la question 1).

$k$

0

1

2

$P(Z = k)$

b.

Calculer l'espérance mathématique $E(Z)$ de la variable aléatoire $Z$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice n°3 (7 points)

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l'un d'une marque A et l'autre d'une marque B.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1: appareil de la marque A

À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de la marque A.

On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l'allumage du foyer.

Par lecture graphique:

1.

min

2.

min

3.

On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.

Partie 2: étude d'une fonction

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par $g(t) = 10t\,\mathrm{e}^{-0{,}01t} + 20$.

1.

2.a.

Montrer que pour tout $t \in [0; +\infty[$, $g'(t) = (-0{,}1t + 10)\mathrm{e}^{-0{,}01t}$.

2.b.

Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0; +\infty[$ et construire son tableau de variations.

3.

Démontrer que l'équation $g(t) = 300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0; +\infty[$. En donner des valeurs approchées à l'unité.

$t_1 \approx$

et $t_2 \approx$

4.

À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\int_0^{600} g(t)\,\mathrm{d}t$.

Partie 3: évaluation

Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer $t$ minutes après l'allumage est modélisée sur $[0; 600]$ par la fonction $g$.

L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants:

Critère 1: la température maximale est supérieure à $320^\circ\text{C}$.

Critère 2: la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.

Critère 3: la température moyenne durant les 10 premières heures après l'allumage dépasse $250^\circ\text{C}$.

Critère 4: la température à l'intérieur du foyer ne doit pas dépasser $300^\circ\text{C}$ pendant plus de 5 heures.

Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.

Exercice n°4 (4 points)

On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante:

on se place dans un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$, une unité représentant un mètre;

l'avion n°1 doit relier le point $O$ au point $A(0; 200; 0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de $200\text{ m/s}$;

l'avion n°2 doit, quant à lui, relier le point $B(-33; 75; 44)$ au point $C(87; 75; -116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de $200\text{ m/s}$;

au même instant, l'avion n°1 est au point $O$ et l'avion n°2 est au point $B$.

1.

Justifier que l'avion n°2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l'avion n°1 à parcourir le segment $[OA]$.

2.

Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.

$x =$

$y =$

$z =$

3.

Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?