Exercice 3 · Bac Mathématiques Suède 2024 (jour 2)

Exercice n°3 (7 points)

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l'un d'une marque A et l'autre d'une marque B.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1: appareil de la marque A

À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de la marque A.

On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l'allumage du foyer.

Par lecture graphique:

1.

min

2.

min

3.

On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.

Partie 2: étude d'une fonction

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par $g(t) = 10t\,\mathrm{e}^{-0{,}01t} + 20$.

1.

2.a.

Montrer que pour tout $t \in [0; +\infty[$, $g'(t) = (-0{,}1t + 10)\mathrm{e}^{-0{,}01t}$.

2.b.

Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0; +\infty[$ et construire son tableau de variations.

3.

Démontrer que l'équation $g(t) = 300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0; +\infty[$. En donner des valeurs approchées à l'unité.

$t_1 \approx$

et $t_2 \approx$

4.

À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\int_0^{600} g(t)\,\mathrm{d}t$.

Partie 3: évaluation

Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer $t$ minutes après l'allumage est modélisée sur $[0; 600]$ par la fonction $g$.

L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants:

Critère 1: la température maximale est supérieure à $320^\circ\text{C}$.

Critère 2: la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.

Critère 3: la température moyenne durant les 10 premières heures après l'allumage dépasse $250^\circ\text{C}$.

Critère 4: la température à l'intérieur du foyer ne doit pas dépasser $300^\circ\text{C}$ pendant plus de 5 heures.

Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.