Exercice 2 · Bac Mathématiques Polynésie 2026 (jour 2)

Exercice 2 (5 points)

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in [4\,;\,10]$ par $f(x) = \ln(8x^3 - 1)$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[4\,;\,10]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1.

Montrer pour tout $x \in [4\,;\,10]$, on a:

$$f'(x) = \frac{24x^2}{(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)}$$

2. a.

En déduire que $f$ est croissante sur $[4\,;\,10]$.

2. b.

Montrer que, pour tout $x \in [4\,;\,10]$, on a: $4 \le f(x) \le 10$.

3. On définit la fonction $g$ définie pour tout $x \in [4\,;\,10]$ par $g(x) = f(x) - x$.

On admet que $g$ est strictement décroissante sur son ensemble de définition.

3. a.

Montrer que, sur l'intervalle $[4\,;\,10]$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.

3. b.

Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de $\alpha$:

$< \alpha <$

Partie B

On admet qu'on peut définir la suite $(u_n)$ par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction étudiée à la partie A.

1.

2. a.

Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a: $4 \le u_n \le u_{n+1} \le 10$.

2. b.

En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

3.

Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers le nombre $\alpha$, défini dans la partie A.

Partie C

Dans cette partie, on admet que $8{,}4 \le \alpha \le 8{,}5$.

On a créé, en langage Python, la fonction alpha suivante.

On précise qu'en langage Python, l'instruction log correspond à $\ln$.

def f(x):

return log(8*x**3 - 1)

def alpha(a):

n = 0

u = 5

while u < a:

u = f(u)

n = n + 1

return n

1.

On admet que alpha(8.499) renvoie la valeur 11. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2.

Un utilisateur exécute alpha(8.6). Expliquer pourquoi aucune valeur n'est alors renvoyée.