Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie 2026 (jour 1)

Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par:

$$f(x) = \ln(3x^2 + 1).$$

On admet que la fonction $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Partie A

On considère la suite $(u_n)$ définie par:

$$u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier } n \ge 0: \quad u_{n+1} = \ln(3u_n^2 + 1).$$

1.

2.

La suite $(u_n)$ est représentée ci-dessous. Émettre des conjectures sur le sens de variation et la convergence de la suite $(u_n)$.

3.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$:

$$2 \le u_n \le u_{n+1} \le 4.$$

4.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

Partie B

On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.

Le but de cette partie est de trouver une valeur approchée de la limite $\ell$.

On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $[0\,;+\infty[$ par:

$$g(x) = \ln(3x^2 + 1) - x.$$

1.

On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Démontrer que pour tout réel $x \in [0\,;+\infty[$,

$$g'(x) = \frac{-3x^2 + 6x - 1}{3x^2 + 1}.$$

2.

Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[2\,; 4]$.

3.

Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[2\,; 4]$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

4.

Justifier que $\ell = \alpha$.