Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2025

1. Recopier et compléter le script Python : argument de range

Réponse : ```python k ```

1. Recopier et compléter le script Python : u =

Réponse : ```python 2 + log(u**2 - 3) ```

1. Recopier et compléter le script Python : return

Réponse : ```python L ```

2. Émettre deux conjectures : sens de variation

Réponse : croissante

2. Émettre deux conjectures : convergence

Réponse : La suite semble convergente vers une valeur proche de 5,164.

3. Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite ? Justifier.

Réponse : Non, cela ne la contredit pas (au contraire, cela l'appuie).

Partie B - 1. Expression de g'(x)

Réponse : $\frac{2x}{x^2 - 3}$

Partie B - 1. Démontrer que la fonction g est croissante sur [2 ; +∞[

Réponse : Sur $[2\,;\,+\infty[$, $x > 0$ et $x^2 - 3 > 0$, donc $g'(x) > 0$, d'où $g$ est strictement croissante.

Partie B - 2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 4 ≤ u_n ≤ u_{n+1} ≤ 6

Réponse : Initialisation : $u_0 = 5 \in [4\,;\,6]$. $u_1 = g(u_0) = 2 + \ln(5^2 - 3) = 2 + \ln(22) \approx 5{,}09 \in [4\,;\,6]$. De plus, on a bien $u_1 \ge u_0$. Donc la propriété est vraie au rang 0. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $4 \le u_n \le u_{n+1} \le 6$. Comme $g$ est croissante sur $[2\,;\,+\infty[$, on a : $$g(4) \le g(u_n) \le g(u_{n+1}) \le g(6)$$ Or $g(u_n) = u_{n+1}$ et $g(u_{n+1}) = u_{n+2}$. De plus $g(4) = 2 + \ln(13) \approx 4{,}56 \ge 4$ et $g(6) = 2 + \ln(33) \approx 5{,}50 \le 6$. On en déduit donc $4 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 6$. La propriété est donc héréditaire. Conclusion : Par récurrence, $4 \le u_n \le u_{n+1} \le 6$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Partie B - 2. b. En déduire que la suite (u_n) converge

Réponse : $(u_n)$ est croissante et majorée par 6, donc convergente (théorème de convergence monotone).

Partie C - 1. a. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions sur [2 ; +∞[

Réponse : D'après le tableau de variations, on voit une première solution à $f(2) = 0$. Donc $\alpha = 2$. Par ailleurs : - $f$ est continue sur $[3\,;\,+\infty[$ - $f(3) = \ln(6) - 1 \approx 0{,}79 > 0$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ D'après le théorème des valeurs intermédiaires (ou corollaire), l'équation $f(x) = 0$ possède donc une seconde solution $\beta$ sur l'intervalle $[3\,;\,+\infty[$.

Partie C - 1. b. Valeur exacte de α

Réponse : 2

Partie C - 1. b. Valeur approchée à 10^-3 près de β

Réponse : 5,164

Partie C - 2. Justifier que f(ℓ) = 0

Réponse : Si $\ell = \lim u_n$, par passage à la limite dans $u_{n+1} = g(u_n)$ (continuité de $g$), on a $\ell = g(\ell) \iff g(\ell) - \ell = 0 \iff f(\ell) = 0$.

Partie C - 2. Déterminer ℓ

Réponse : $\beta$ (soit environ 5,164)