Exercice 4 - Affirmation 5 · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 2)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Jour 2 (2025)

Énoncé

Exercice 4. (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

5. Soit xx donné dans [0,1[[0,1[. On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par:

un=(x−1)en+cos⁡(n).u_n = (x - 1)e^n + \cos(n).

Affirmation n°5: La suite (un)(u_n) diverge vers −∞-\infty.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Affirmation n°5 : La suite (u_n) diverge vers -∞.

Réponse : Vraie

Justification de la réponse

Réponse : Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, cos⁡(n)≤1\cos(n) \le 1, donc un≤(x−1)en+1u_n \le (x - 1)e^n + 1. Comme x∈[0,1[x \in [0, 1[, x−1<0x - 1 < 0 donc lim⁡n→+∞(x−1)en+1=−∞\lim_{n \to +\infty} (x - 1)e^n + 1 = -\infty, d'où par comparaison lim⁡n→+∞un=−∞\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty.

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