Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2024

Exercice 3 (4 points)

On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres:

le 1 er étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule;

le 2 e étage, niveau juste en dessous, est composé de 4 boules;

le 3 e étage possède 9 boules;

...

le $n$-ième étage possède $n^2$ boules.

Pour tout entier $n \ge 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n = n^2$.

1.

Calculer le nombre total de boules d'une pyramide de 4 étages.

2. On considère la suite $(S_n)$ définie pour tout entier $n \ge 1$ par $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$.

a.

Calculer $S_5$ et interpréter ce résultat.

b.

On considère la fonction pyramide ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python. Recopier et compléter le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul $n$, l'instruction pyramide(n) renvoie le nombre de boules composant une pyramide de $n$ étages.

def pyramide(n):

S = 0

for i in range(1, n+1):

S =...

return...

c.

Vérifier que pour tout entier naturel $n$:

$$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + (n + 1)^2 = \frac{(n + 1)(n + 2)[2(n + 1) + 1]}{6}$$

d.

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$:

$$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$

3.

Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède 200 oranges. Combien d'oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?