Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie 2024 (jour 2)

Exercice 3. (6 points)

On considère la suite $(u_n)$, définie par:

$$u_0 = 8 \text{ et pour tout entier naturel } n, u_{n+1} = u_n - \ln\left(\frac{u_n}{4}\right).$$

1. a.

Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.

1. b.

On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Python. On admet que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a.

def mystere(k):

u = 8

S = 0

for i in range(k):

S = S + u

u = u - log(u / 4)

return S

L'exécution de mystere(10) renvoie 58.44045206721732. Que représente ce résultat ?

1. c.

Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $(u_n)$.

def mystere(k):

2.

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0; +\infty[$ par:

$$f(x) = x - \ln\left(\frac{x}{4}\right).$$

On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 6:

Étudier les variations de $f$ sur $]0; +\infty[$ et dresser son tableau de variations.

On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0; +\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.

Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

3. a.

Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a:

$$1 \le u_{n+1} \le u_n.$$

3. b.

En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle. On note $\ell$ la valeur de cette limite.

3. c.

Résoudre l'équation $f(x) = x$.

3. d.

En déduire la valeur de $\ell$.