Exercice 4 · Bac Mathématiques Polynésie 2023 (jour 1)

Exercice 4. (6 points) Thèmes: suites, fonctions

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$: $$u_{n+1} = 0,9u_n - 0,3.$$

1.

a.

Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 2 \times 0,9^n - 3$.

b.

En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $-3 < u_n \le -1$.

c.

Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

d.

Démontrer que la suite $(u_n)$ converge et préciser sa limite.

2.

On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $]-3\,;\, -1]$ par: $$g(x) = \ln(0,5x + 1,5) - x.$$

a.

Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$):

b.

En déduire que l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l'on notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.

3.

Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$, par: $$v_n = \ln(0,5 u_n + 1,5).$$

a.

En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que $(v_n)$ est arithmétique de raison $\ln(0,9)$.

b.

Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que $u_n = v_n$ si, et seulement si $g(u_n) = 0$.

c.

Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $u_k = \alpha$.

d.

En déduire qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $v_k = u_k$.