Exercice 4 · Bac Mathématiques Polynésie 2024 (jour 1)

Exercice 4 (6 points)

L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite.

Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$:

$$u_{n+1} = \frac{4}{5 - u_n}.$$

Partie A

1.

Recopier et compléter la fonction Python suivante suite(n) qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$.

def suite(n):

u =...

for i in range(n):

...

return u

2.

L'exécution de suite(2) renvoie 1.3333333333333333. Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.

3.

À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $(u_n)$.

>> suite(2)

1.3333333333333333

>> suite(5)

1.0058479532163742

>> suite(10)

1.0000057220349845

>> suite(20)

1.000000000005457

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]-\infty\,;\,5[$ par:

$$f(x) = \frac{4}{5 - x}.$$

Ainsi, la suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

1.

Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,5[$.

2.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a: $1 \le u_{n+1} \le u_n \le 4$.

3.a.

Soit $x$ un réel de l'intervalle $]-\infty\,;\,5[$. Prouver l'équivalence suivante: $f(x) = x \iff x^2 - 5x + 4 = 0$.

3.b.

Résoudre $f(x) = x$ dans l'intervalle $]-\infty\,;\,5[$.

4.

Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente. Déterminer sa limite.

5.

Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?