Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2023

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x) = \frac{3}{4}x^2 - 2x + 3.$$

1.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2.

En déduire que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\frac{4}{3}~;~2\right]$, $f(x)$ appartient à l'intervalle $\left[\frac{4}{3}~;~2\right]$.

3.

Démontrer que pour tout $x$ réel, $x \le f(x)$.

Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel $x$:

$$f(x) - x = \frac{3}{4}(x - 2)^2.$$

On considère la suite $(u_n)$ définie par un réel $u_0$ et pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1} = f(u_n).$$

On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \frac{3}{4}u_n^2 - 2u_n + 3$.

4. Étude du cas: $\frac{4}{3} \le u_0 \le 2$.

a.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

$$u_n \le u_{n+1} \le 2.$$

b.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

c.

Prouver que la limite de la suite est égale à $2$.

5. Étude du cas particulier: $u_0 = 3$.

On admet que dans ce cas la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

Recopier et compléter la fonction « seuil » suivante écrite en Python, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à $100$.

6. Étude du cas: $u_0 > 2$.

À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que $(u_n)$ n'est pas convergente.