Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie 2022 (jour 2)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Jour 2 (2022)

Énoncé

EXERCICE 3 (7 points) — Thèmes: suites, fonctions

Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait 40 individus. L'observation conduit à modéliser l'évolution de la population par la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par:{u0=40un+1=0,008un(200−un)\begin{cases} u_0 = 40 \\ u_{n+1} = 0{,}008u_n(200 - u_n) \end{cases}où unu_n désigne le nombre d'individus au début de l'année (2021+n)(2021+n).

1.

Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022.

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [0   100][0\;\ 100] par f(x)=0,008x(200−x)f(x) = 0{,}008x(200 - x).

2.

Résoudre dans l'intervalle [0   100][0\;\ 100] l'équation f(x)=xf(x) = x.

3.

a.

Démontrer que la fonction ff est croissante sur l'intervalle [0   100][0\;\ 100] et dresser son tableau de variations.

b.

En remarquant que, pour tout entier naturel nn, un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn:0⩽un⩽un+1⩽100.0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 100.

c.

En déduire que la suite (un)(u_n) est convergente.

d.

Déterminer la limite ℓ\ell de la suite (un)(u_n). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

4.

On considère l'algorithme suivant:

def seuil(p):

n = 0

u = 40

while u < p:

n = n+1

u = 0.008*u*(200-u)

return(n+2021) L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l'aide de la question 3.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022.

Réponse : 51,251{,}2 (ou 51 / 52)

2. Résoudre dans l'intervalle [0 ; 100] l'équation f(x) = x (première solution)

Réponse : 0

2. Résoudre dans l'intervalle [0 ; 100] l'équation f(x) = x (deuxième solution)

Réponse : 75

3. a. Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 100] et dresser son tableau de variations.

Réponse : f′(x)=0,016(100−x)⩾0f'(x) = 0{,}016(100 - x) \geqslant 0 sur [0 ; 100][0\ ;\ 100] donc ff est croissante.

3. b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 ≤ u_n ≤ u_{n+1} ≤ 100.

Réponse : Démonstration par récurrence : initialisation vérifiée car 0⩽40⩽51,2⩽1000 \leqslant 40 \leqslant 51{,}2 \leqslant 100, hérédité assurée par la croissance de ff sur [0 ; 100][0\ ;\ 100].

3. c. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

Réponse : La suite (un)(u_n) est croissante et majorée par 100, donc elle converge d'après le théorème de la limite monotone.

3. d. Déterminer la limite ℓ de la suite (u_n).

Réponse : 75

3. d. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Réponse : À long terme, la population de la colonie d'oiseaux va se stabiliser à 75 individus.

4. L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l'aide de la question 3.

Réponse : Comme (un)(u_n) converge vers 75 et est croissante avec u0=40u_0 = 40, un⩽75<100u_n \leqslant 75 < 100 pour tout nn. La condition u<100u < 100 reste toujours vraie et la boucle while ne se termine jamais.

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