Exercice 2 · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2022

Soit $k$ un nombre réel.

On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1} = k u_n(1 - u_n).$$

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de $k$.

Partie 1

Dans cette partie, $k = 1,9$ et $u_0 = 0,1$.

On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,9u_n(1 - u_n)$.

1.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; 1]$ par $f(x) = 1,9x(1 - x)$.

a.

b.

2.

Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite $(u_n)$ construits à partir de la courbe $C_f$ de la fonction $f$ et de la droite $D$ d'équation $y = x$.

Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$ et sa limite éventuelle.

3.

a.

b.

c.

Partie 2

Dans cette partie, $k = \frac{1}{2}$ et $u_0 = \frac{1}{4}$.

On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n(1 - u_n)$ et $u_0 = \frac{1}{4}$.

On admet que pour tout entier naturel $n$: $0 \leqslant u_n \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

1.

2.

On considère la fonction Python algo(p) où p désigne un entier naturel non nul:

def algo(p):

u = 1/4

n = 0

while u > 10**(-p):

u = 1/2*u*(1-u)

n = n+1

return(n)