Exercice 1 · Bac Mathématiques Polynésie 2021 (jour 1)

1. Calculer $u_1$ et vérifier que $u_2 = 9\,415$.

Réponse : 9700

2. a. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ : $u_n > 4\,000$.

Réponse : Soit la propriété $P(n) : « u_n > 4\,000 »$. - Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 10\,000 > 4\,000$, donc $P(0)$ est vraie. - Hérédité : soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P(n)$ vraie, c'est-à-dire $u_n > 4\,000$. Alors : $$u_n > 4\,000 \implies 0{,}95 u_n > 0{,}95 \times 4\,000 = 3\,800$$ $$0{,}95 u_n + 200 > 3\,800 + 200 = 4\,000$$ Soit $u_{n+1} > 4\,000$. La propriété est donc héréditaire. - Conclusion : par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 4\,000$.

2. b. On admet que la suite $(u_n)$ est décroissante. Justifier qu'elle converge.

Réponse : La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $4\,000$ (d'après la question 2.a). D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $L \geqslant 4\,000$.

3. a. Calculer $v_0$.

Réponse : 6000

3. b. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison égale à $0{,}95$.

Réponse : Pour tout entier naturel $n$ : $$v_{n+1} = u_{n+1} - 4\,000 = 0{,}95 u_n + 200 - 4\,000 = 0{,}95 u_n - 3\,800$$ En factorisant par $0{,}95$ : $$v_{n+1} = 0{,}95(u_n - 4\,000) = 0{,}95 v_n$$ Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 0{,}95$ et de premier terme $v_0 = 6\,000$.