Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie 2022 (jour 1)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Jour 1 (2022)

Énoncé

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n}.$

1. a.

Calculer les termes $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ . On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

1. b.

Recopier le script Python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel $k$ et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $(u_n)$ de $u_0$ à $u_k$ .

1. def liste(k):

2. L = []

3. u =...

4. for i in range(0, k+1):

5. L.append(u)

6. u =...

7. return(L)

On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ .

En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

Déterminer la valeur de sa limite.

5. a.

Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$ .

5. b.

Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. a. Calculer le terme $u_1$

Réponse : 1/2

1. a. Calculer le terme $u_2$

Réponse : 1/3

1. a. Calculer le terme $u_3$

Réponse : 1/4

1. b. Compléter la ligne 3 du script Python (valeur initiale de u)

Réponse : ```python 1 ```

1. b. Compléter la ligne 6 du script Python (mise à jour de u)

Réponse : ```python u / (1 + u) ```

2. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$

Réponse : La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge

Réponse : La suite $(u_n)$ converge car elle est strictement décroissante et minorée par 0.

4. Déterminer la valeur de sa limite

Réponse : 0

5. a. Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$

Réponse : 1/(n+1)

5. b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente

Réponse : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n = \frac{1}{n+1}$ .

L’explication pas à pas, faite avec l’IA, est réservée aux membres Premium. Premium

Résous-le ici : correction automatique, indices et corrigé détaillé.

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