Exercice 3 - Partie B : Probabilités conditionnel… · Bac Mathématiques Polynésie 2024 (jour 1)

Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles.

Partie B

Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais:

On lance trois pièces équilibrées: Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée;

Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».

La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.

On considère les événements suivants:

• $G$: « la partie est gagnée ».

Et pour tout entier $k$ compris entre 0 et 3, les événements:

• $A_k$: « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».

1.

Démontrer que $\mathrm{P}_{A_1}(G) = \frac{1}{4}$.

2.

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous:

Branche · Probabilité

$\mathrm{P}_{A_0}(G)$

$\mathrm{P}_{A_0}(\overline{G})$

$\mathrm{P}_{A_1}(G)$

$\mathrm{P}_{A_1}(\overline{G})$

$\mathrm{P}_{A_2}(G)$

$\mathrm{P}_{A_2}(\overline{G})$

$\mathrm{P}_{A_3}(G)$

3.

Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p = \frac{27}{64}$.

4.

La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?

5.

Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse 0,95 ?