Exercice 1 · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 2)

Exercice 1 (5 points)

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs: $0$ ou $1$.

Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue ($1$ devient $1$ et $0$ devient $0$), soit de façon contraire ($1$ devient $0$ et $0$ devient $1$).

La transmission est fidèle dans $90\%$ des cas, et donc contraire dans $10\%$ des cas.

Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur $1$.

Partie A

Pour tout entier naturel $n \ge 1$, on note:

$V_n$ l'événement: « la $n$-ième machine détient la valeur $1$ »;

$\overline{V_n}$ l'événement: « la $n$-ième machine détient la valeur $0$ ».

1. a.

Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous:

1. b.

Démontrer que $P(V_3) = 0{,}82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

1. c.

Sachant que la troisième machine a reçu la valeur $1$, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur $1$.

2. Pour tout entier naturel $n \ge 1$, on note $p_n = P(V_n)$.

La première machine a reçu la valeur $1$, on a donc $p_1 = 1$.

2. a.

Démontrer que pour tout entier naturel $n \ge 1$: $p_{n+1} = 0{,}8p_n + 0{,}1$.

2. b.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \ge 1$, $p_n = 0{,}5 \times 0{,}8^{n-1} + 0{,}5$.

2. c.

Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction simulation qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

On rappelle que l'instruction rand() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $[0, 1[$.

1 def simulation(n):

2 donnee = 1

3 liste = [donnee]

4 for k in range(n):

5 if rand() < 0.1:

6 donnee = 1 - donnee

7 liste.append(donnee)

8

9 return liste

Par exemple, simulation(3) peut renvoyer [1, 0, 0, 1]. Cette liste traduit:

qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines;

la première machine qui détient la valeur $1$ a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine;

la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième;

la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.

1.

Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.

2.

Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste [1, 1, 1, 1, 1] et la probabilité que simulation(6) renvoie la liste [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1].