Exercice 2 - Modèle 1 : équation différentielle · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2025

Exercice 2 (5 points)

On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle.

Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant:

Année · 2000 · 2005 · 2010 · 2015

Nombre d'individus · 50 · 64 · 80 · 100

Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d'individus en fonction du temps.

Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, dont la variable $x$ représente le temps écoulé, en année, à partir de l'année 2000.

Dans son modèle, l'image de 0 par cette fonction vaut 50, ce qui correspond au nombre d'individus en l'an 2000.

Partie A. Modèle 1

Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante:

$$y' = 0{,}05y - 0{,}5 \quad (E_1)$$

1.

Résoudre l'équation différentielle $(E_1)$ avec la condition initiale $y(0) = 50$.

2.

Comparer les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle.

$y(5) \approx$

$y(10) \approx$

$y(15) \approx$