Exercice 4 · Bac Mathématiques Polynésie 2022 (jour 2)

EXERCICE 4 (7 points)

Thème: géométrie dans le plan et dans l'espace

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête de longueur 1. L'espace est muni du repère orthonormé $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, $K$ le centre du carré $ADHE$ et $O$ le milieu du segment $[AG]$.

Le but de l'exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.

Partie 1. Première méthode

1.

Donner, sans justification, les coordonnées des points $A$, $B$, et $G$.

$A$:

$B$:

$G$:

On admet que les points $I$ et $K$ ont pour coordonnées $I\left(\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right)$ et $K\left(0\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right)$.

2.

Démontrer que la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.

3.

Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est: $2x - y - z = 0$.

4.

Donner une représentation paramétrique de la droite $(BK)$.

5.

En déduire que le projeté orthogonal $L$ du point $B$ sur le plan $(AIG)$ a pour coordonnées $L\left(\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3}\right)$.

6.

Déterminer la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.

Partie 2. Deuxième méthode

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \frac{1}{3} \times b \times h$, où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.

1.a.

Justifier que dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.

1.b.

En déduire le volume du tétraèdre $ABIG$.

2.

On admet que $AI = IG = \frac{\sqrt{5}}{2}$ et que $AG = \sqrt{3}$. Démontrer que l'aire du triangle isocèle $AIG$ est égale à $\frac{\sqrt{6}}{4}$ unité d'aire.

3.

En déduire la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.