Exercice 4 · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2022

On considère le cube $ABCDEFGH$. On note $I$ le milieu du segment $[EH]$ et on considère le triangle $CFI$.

L'espace est muni du repère orthonormé $(A;\, \vec{AB},\, \vec{AD},\, \vec{AE})$ et on admet que le point $I$ a pour coordonnées $\left(0;\, \frac{1}{2};\, 1\right)$ dans ce repère.

1.a.

Donner sans justifier les coordonnées des points $C$, $F$ et $G$ sous la forme $(x; y; z)$:

1.b.

Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(CFI)$.

1.c.

Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est: $x + 2y + 2z - 3 = 0$.

2. On note $d$ la droite passant par $G$ et orthogonale au plan $(CFI)$.

2.a.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.

2.b.

Démontrer que le point $K\left(\frac{7}{9};\, \frac{5}{9};\, \frac{5}{9}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(CFI)$.

2.c.

Déduire des questions précédentes que la distance du point $G$ au plan $(CFI)$ est égale à $\frac{2}{3}$.

3. On considère la pyramide $GCFI$.

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \frac{1}{3} \times b \times h$, où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.

3.a.

Démontrer que le volume de la pyramide $GCFI$ est égal à $\frac{1}{6}$, exprimé en unité de volume.

3.b.

En déduire l'aire du triangle $CFI$, en unité d'aire: