Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie 2021 (jour 1)

Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête de longueur égale à 1.

On munit l'espace du repère orthonormé $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$.

On considère le point $M$ tel que $\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BH}$.

1.

Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$, $G$ et $H$.

2.

a.

Quelle est la nature du triangle $EGD$ ? Justifier la réponse.

b.

On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$.

Montrer que l'aire du triangle $EGD$ est égale à $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3.

Démontrer que les coordonnées de $M$ sont $\left(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right)$.

4.

a.

Justifier que le vecteur $\vec{n}(-1; 1; 1)$ est normal au plan $(EGD)$.

b.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est: $-x + y + z - 1 = 0$.

c.

Soit $\mathcal{D}$ la droite orthogonale au plan $(EGD)$ et passant par le point $M$. Montrer qu'une représentation paramétrique de cette droite est:

$$\mathcal{D}: \begin{cases} x = \frac{2}{3} - t \\ y = \frac{1}{3} + t \\ z = \frac{1}{3} + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$

5.

Le cube $ABCDEFGH$ est représenté ci-dessous selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide $GEDM$, en gris sur la figure:

Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide $GEDM$.

a.

Soit $K$, le pied de la hauteur de la pyramide $GEDM$ issue du point $M$. Démontrer que les coordonnées du point $K$ sont $\left(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}\right)$.

b.

En déduire le volume de la pyramide $GEDM$.

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \frac{b \times h}{3}$ où $b$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.